Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования Линейные уравнения

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Теорема 19.1 Собственными числами матрицы $ A$ являются корни уравнения
$\displaystyle \vert A-{\lambda}E\vert=0$
и только они.

Доказательство. Пусть столбец $ {\alpha}$ -- собственный вектор матрицы $ A$ с собственным числом $ {\lambda}$ . Тогда, по определению, $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ . Это равенство можно переписать в виде $ {A{\alpha}-{\lambda}{\alpha}=0}$ . Так как для единичной матрицы $ E$ выполнено $ {E{\alpha}={\alpha}}$ , то $ {A{\alpha}-{\lambda}E{\alpha}=0}$ . По свойству матричного умножения $ {(A-{\lambda}E){\alpha}=A{\alpha}-{\lambda}E{\alpha}}$ и предыдущее равенство принимает вид

$\displaystyle (A-{\lambda}E){\alpha}=0.$(19.4)


Допустим, что определитель матрицы $ {A-{\lambda}E}$ отличен от нуля, $ {\vert A-{\lambda}E\vert
\ne0}$ . Тогда у этой матрицы существует обратная $ {(A-{\lambda}E)^{-1}}$ . Из равенства(19.4) получим, что $ {{\alpha}=(A-{\lambda}E)^{-1}\cdot0=0}$ , что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что $ {\vert A-{\lambda}E\vert
\ne0}$ , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ .

Пусть $ {\lambda}$ -- корень уравнения $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ . Тогда базисный минор матрицы $ {A-{\lambda}E}$ не может совпадать с определителем матрицы и поэтому $ {{\rm Rg}
(A-{\lambda}E)=r<n}$ , $ n$ -- порядок матрицы $ A$ . Уравнение(19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными $ {{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\ldots,\,{\alpha}_n}$ , являющимися элементами матрицы-столбца $ {\alpha}$ . По теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно $ {n-r}$ , что больше нуля. Таким образом, система(19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу $ {\lambda}$ соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы $ A$ .

Определитель $ {\vert A-{\lambda}E\vert}$ является многочленом степени $ n$ от переменного $ {\lambda}$ , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.

Определение 19.5 Матрица $ {A-{\lambda}E}$ называется характеристической матрицей матрицы $ A$ , многочлен $ {\vert A-{\lambda}E\vert}$ называется характеристическим многочленом матрицы $ A$ , уравнение $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ называется характеристическим уравнением матрицы $ A$ .

Пример 19.10 Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$
Решение. Составляем характеристическую матрицу $ {A-{\lambda}E}$ :
$\displaystyle A-{\lambda}E=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end...
...}{ccc}1-{\lambda}&-3&4\\ 4&-7-{\lambda}&8\\ 6&-7&7-{\lambda}\end{array}\right).$
Находим характеристический многочлен
\begin{multline*}
\vert A-{\lambda}E\vert=\left\vert\begin{array}{ccc}1-{\lambd...
...-7-{\lambda})\big)=\\
=-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3.
\end{multline*}
Решим характеристическое уравнение
$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=0.$
Подбором находим, что один корень уравнения равен $ -1$ . Есть теорема, которая говорит, что если число $ c$ является корнем многочлена $ {P(x)}$ , то многочлен $ {P(x)}$ делится на разность $ {x-c}$ , то есть $ {P(x)=(x-c)Q(x)}$ , где $ {Q(x)}$ -- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен $ {-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3}$ должен делиться на $ {{\lambda}-(-1)}$ . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель $ {{\lambda}+1}$ :
\begin{multline*}
-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=(-{\lambda}^3-{\lambda}...
...+3({\lambda}+1)=\\
=({\lambda}+1)(-{\lambda}^2+2{\lambda}+3).
\end{multline*}
Находим корни трехчлена $ {-{\lambda}^2+2{\lambda}+3}$ . Они равны $ -1$ и 3. Таким образом,
$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=-({\lambda}+1)^2({\lambda}-3),$
$ {{\lambda}_1=-1}$ -- корень кратности 2 17.7 b, $ {{\lambda}_2=3}$ -- простой корень. Итак, собственные числа матрицы $ A$ равны $ {{\lambda}_1=-1}$ , $ {{\lambda}_2=3}$ . Найдем соответствующие им собственные векторы.
Пусть $ {{\lambda}=-1}$ , тогда для собственного вектора $ {\alpha}$ получаем матричное уравнение
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&-3&4\\ 4&-6&8\\ 6&-7&8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ {\alpha}_3\end{array}\right)=0,$
что соответствует системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2+4{\alpha}_3=0,\\ 
...
...2+8{\alpha}_3=0,\\
6{\alpha}_1-7{\alpha}_2+8{\alpha}_3=0.
\end{array}\right.$
Решаем ее методом Гаусса (раздел "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)"). Выписываем расширенную матрицу системы
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 4&-6&8&0\\ 6&-7&8&0\end{array}\right).$
Первую строку, умноженную на числа $ -2$ и $ -3$ прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам
$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&0&0&0\\ 0&2&-4&0\end{array}\right).$
Меняем местами вторую и третью строки
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&2&-4&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Возвращаемся к системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2-4{\alpha}_3&0,\\
2{\alpha}_2+4{\alpha}_3&0\end{array}\right.$
Базисный минор матрицы $ A_2^*$ находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные $ {\alpha}_1$ и $ {\alpha}_2$ оставляем в левой части, а переменное$ {\alpha}_3$ переносим в правую часть
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2&-4{\alpha}_3,\\
2{\alpha}_2&4{\alpha}_3\end{array}\right.$
Полагаем $ {{\alpha}_3=1}$ , находим $ {{\alpha}_2=2}$ , $ {{\alpha}_1=1}$ . Итак, собственному числу $ {{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ .
Пусть $ {{\lambda}=3}$ , тогда для собственного вектора $ {\beta}$ получаем матричное уравнение
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-2&-3&4\\ 4&-10&8\\ 6&-7&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ {\beta}_3\end{array}\right)
=0,$
что соответствует системе уравнений $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3=0,\\ 4{\...
...beta}_2+8{\beta}_3=0,\\
6{\beta}_1-7{\beta}_2+4{\beta}_3=0.\end{array}\right.$
Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу $\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 4&-10&8&0\\ 6&-7&4&0\end{array}\right).$
Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам $\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&-16&16&0\end{array}\right).$
Вторую строку умножаем на $ -1$ и прибавляем к третьей
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Возвращаемся к системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3&0,\\
-16{\beta}_2+16{\beta}_3&0\end{array}\right.$
Базисный минор матрицы $ A_2^*$ находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные $ {\beta}_1$ и $ {\beta}_2$ оставляем в левой части, а переменное $ {\beta}_3$ переносим в правую часть
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2&-4{\beta}_3,\\
-16{\beta}_2&-16{\beta}_3\end{array}\right.$
Полагаем $ {{\beta}_3=1}$ , находим $ {{\beta}_2=1}$ , $ {{\beta}_1=0.5}$ . Итак, собственному числу $ {{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор . Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу $ {{\lambda}_2=3}$ соответствует собственный вектор $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .

Ответ: Собственные числа: $ {{\lambda}_1=-1}$ , $ {{\lambda}_2=3}$ , соответствующие собственные векторы: $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (непрерывность в точке). Пусть функция  
задана на , . Тогда

( – непрерывна в точке ) .

Итак, непрерывность в точке функции предполагает задание функции в самой точке   (конечная точка) и в некоторой ее окрестности, при этом должны выполняться условия:

существование конечного предела функции в конечной точке;

значение предела совпадает со значением функции в этой точке.

Понятие точки разрыва функции

Пусть , , . Тогда если точка  не является точкой непрерывности функции , то она – точка разрыва функции. При  или  также возможен "разрыв" слева или справа функции
(см. рисунок), если   рассматривается на .

Условия непрерывности функции в точке могут нарушаться в следующих ситуациях (классификация точек разрыва):

, но ;  – точка устранимого разрыва; на рисунке это точки , ;

, , но ;  – точка разрыва первого рода;  – скачок функции в точке ; на рисунке это точка , , ;

  – точка разрыва второго рода в остальных случаях; на рисунке это точки  и .

Свойства (локальные) функции, непрерывной в точке, можно перефразировать, исходя из соответствующих теорем о функциях, имеющих конечный предел в конечной точке. Перечислим некоторые из них.

Непрерывная в точке функция локально ограничена.

Арифметические операции: сложение, разность и произведение конечного множества непрерывных в одной и той же точке функций – определяют функцию, непрерывную в той же точке. Деление непрерывных функций определяет
непрерывную функцию в любой точке, кроме нулей знаменателя.

Именно поэтому целая рациональная функция (многочлен)  – всюду непрерывная функция; дробно-рациональная функция  в любой точке, кроме нулей знаменателя, непрерывна. Можно доказать, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области существования.
Например,   – непрерывна в любой точке . Если функцию  доопределить в точках  каким-либо значением, например рассмотреть  то функция  имеет точки разрыва второго рода при .

3. Утверждение о сохранении знака

Если функция  непрерывна в точке  и , то существует окрестность , в каждой точке которой  при .

Доказательство. Пусть для определенности ;
тогда, используя определение непрерывности функции в
точке , имеем

, т.е. .

Итак, в любой точке построенной окрестности  .

Аналогичные рассуждения при .

4. Непрерывность сложной функции

Пусть , , множества  – числовые множества. Тогда функция  называется СЛОЖНОЙ функцией, реализующей следующие отображения:

.

Если 1)  – непрерывна в точке ;

  2)  – непрерывна в точке ,

то сложная функция  непрерывна в точке .

В самом деле,

.

Здесь использовано свойство непрерывности компонент
сложной функции.