Вычисление площадей в декартовых координатах начало

Пример 3. Найти площадь фигуры, заключенной между параболой х2=4у и локоном Аньези : .Подпись:

 

 

 

 

Решение. Найдем абсциссы точек А и С пересечения кривых.

Для этого исключим у из системы уравнений:

,

откуда   или .

Действительными корнями этого уравнения являются точки

x1= –2 b x2=2. Из рисунка видно, что  на отрезке . (В этом можно убедиться и прямым подсчетом значений этих функций в любой точке внутри отрезка, например, в точке х=0.)

Следовательно,

.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

ПРИМЕР 1. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь .

РЕШЕНИЕ. Прежде всего проверяем, является ли дробь  правильной. Для этого сравниваем степени числителя  и знаменателя :  и дробь  – правильная.

Знаменатель разложим на множители: , причем трехчлен имеет комплексные корни , а поэтому не разлагается на линейные множители.  – несократимая дробь, так как  и   не являются корнями числителя.

Итак, для дроби  применима теорема 2.

Множителю  в знаменателе соответствует сумма простейших дробей , а множителю  – одна простейшая дробь вида . По теореме 2 должно быть справедливо тождество , , из которого находятся коэффициенты . Для этого приведем сумму дробей в правой части тождества к общему знаменателю, получим дробь, тождественно равную дроби , и тогда при равных знаменателях числители дробей обеих частей тождества должны быть равными:

.

Но тогда у этих многочленов совпадают коэффициенты при одинаковых степенях :

  –

– система линейных алгебраических уравнений относительно , .

Решив эту систему, находим ; ; ;  и .

Способ отыскания неопределенных коэффициентов в этом
примере можно назвать способом сравнения коэффициентов при одинаковых степенях аргумента .

 

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.