Вычисление площадей в декартовых координатах начало

Пример 1.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями   и осью Ох.

 

 

Решение.Функция

непрерывна на промежутке [-1, p/2]. Площадь криволинейной трапеции равна

.

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. 1. Выделим целую часть дроби, для этого делим многочлены

Получаем .

2. Разложим знаменатель дроби на множители

.

3. Поскольку правильная рациональная дробь  несократима, то для нее верно представление

,

из которого, приравнивая числители дробей обеих частей равенства (после приведения к общему знаменателю в правой части), получаем тождество

.

Неизвестные коэффициенты находим комбинированным способом. Сначала применяем способ частных значений:

при  ;

при   .

По способу сравнения коэффициентов выявляем в правой части тождества коэффициент при   (это легко сделать) и свободный член (для этого, в частности, можно положить ), приравниваем их соответственно нулю и числу 24. Решаем полученную систему
уравнений , , используя уже найденные значения неизвестных. Получим , .

4. Интегрируем простейшие дроби:

.

5. Окончательно

.

 

Проведенные рассуждения и рассмотренные примеры показывают, что справедлива следующая теорема.

 

 

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.