Вычисление площадей в декартовых координатах начало

Пример 1.7. Найти площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями кривой

  и прямой .

Решение. Заметим, прежде всего, что  как неявная функция от  определена лишь при : левая часть уравнения всегда неотрицательна. Теперь находим уравнения двух ветвей кривой Так как ,то  и поэтому

Стоит отметить, что при вычислении площади мы обошлись без рисунка, хотя при исследовании поведения функции  он был бы полезен.

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим , , . Тогда ,  и

.

Применение универсальной подстановки привело бы к более сложной подынтегральной функции .

3. Рационализация интегралов от функции вида , ,  осуществляется с помощью тригонометрических подстановок, рассмотренных ранее.

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим ; тогда , . Поэтому

.

Так как , то окончательно имеем .

4. Интеграл от функции , где , , рационализуется заменой переменных  – общее кратное чисел  и .

 

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.