Вычисление площадей в декартовых координатах начало

Пример 1.8. Вычислить площадь петли кривой .

 

 

 

 

Решение. Область определения неявной функции   есть промежуток . Так как в уравнение кривой  входит во второй степени, то кривая симметрична относительно оси . Положительная ветвь  задается уравнением

Общие точки симметричных ветвей  должны лежать на оси Ох. Но  лишь при и при

Следовательно, петля кривойобразована кривыми  и

  (рис.1.8).

Поэтому площадь петли равна 

.

ПРИМЕР 5. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Подынтегральная функция – рациональная дробь переменных  и , . Полагаем , , тогда ,  и

.

5. Интеграл от функции , где , ,  и  –
постоянные,   – целое положительное число, рационализируется подстановкой .

ПРИМЕР 6. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Полагая , тогда ,  и . Отсюда

.

 

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.