Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы начало

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы (контура)  

Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями  ,  ,то площадь фигуры вычисляется по одной из трех формул

: 

где   и  - значения параметра , соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении (при ко-тором фигура остается слева). 

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эл-липсом  

Р е ш е н и е. Здесь удобно вычислить сначала  . Отсюда 

 

ПРИМЕР 2. Показать, что функция  не имеет
предела при .

Решение. Существование предела ФНП в точке определяет стремление функции к одному и тому же числу при "различных приближениях" точки  к предельной точке. В нашем случае имеем , , т.е. существуют кривые, двигаясь по которым к , получаем в пределе для рассматриваемой функции разные значения. Это означает, что функция не имеет предела при .

Заметим, что для рассматриваемой функции, двигаясь к  по любой прямой   или  , получим одно и то же значение предела. Но при произвольном стремлении  функция не имеет предела.

ПРИМЕР 3. Иногда удобно использовать переход от переменных  и  к полярным координатам. В частности, условие  (одновременно и независимо друг от друга) преобразуется в условие  при всяком  (независимо от ; сразу для всех ).

Показать, что .

Решение. Перейдем к полярным координатам ,  и тогда  

(независимо от ).

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.