Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы начало

Пример 5. Найти площадь петли кривой:  ; .

Подпись:                   Рис. 2.2.           

    Р е ш е н и е. Нас будет интересовать общий вид кривой и точки ее самопересечения. Обе функции  и  определе-ны всей числовой оси . Точка самопересечения характерна тем, что в ней совпа-дают зна­чения абсциссы (и ординаты) при разных значе-ниях параметра. Так как , то абсциссы сов-падают при значениях параметра  . Чтобы функция   принимала при тех же значениях параметра  одно и то же значение, должно выполняться равенство при , откуда . Таким образом, при  и при  имеем  и , т.е. точка (0, 0) является единственной точкой самопересечения. Когда  меняется от 0 до 6, точки кривой лежат в первой четверти.  При изменении  от 0 до 3, точка  описывает нижнюю часть петли, так как в указанном промежутке  и  возрастают, а затем функция  начинает убывать, в то время как   сначала еще возрастает. На рис. 2.2 указан обход кривой, соответствующий возрастанию   (фигура остается слева). Площадь искомой петли удобно искать по формуле.

ПРИМЕР. Вычислить  ().

РЕШЕНИЕ.

.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ "ПО ЧАСТЯМ"

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Выберем ,  и проведем вычисления согласно (*) (обращаем внимание на возможный вариант записи этих вычислений).

.

При отыскании  постоянную интегрирования положили равной нулю. Можно проверить, что введение произвольной постоянной  при нахождении  не изменит вида окончательного ответа.

2. Иногда для вычисления интеграла приходится применять формулу интегрирования по частям последовательно несколько раз, при этом выбор множителей   и  должен быть преемственным.

 

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.