Площадь в полярных координатах начало

В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой   и лучами  и , выражается интегралом  

Пример 1. Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной параболой  и прямыми  и Подпись:                    Рис.3.1            

 

 

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Введем полярную систе­му координат, поместив полюс в фокус  параболы F и направив полярную ось в положительном направлении по оси Ох. Тогда,  как известно, уравнение параболы запишется в виде , где  параметр параболы. В нашем случае , а фокус F имеет координаты . Значит, уравнение параболы при­мет вид  , а уравнения пря­мых примут вид  и  (рис.3.1). Поэтому . Заменив Подпись:                

      
            1
  , получимили,  учитывая, что ,.

 

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ.

.

4. Интегрирование по частям иногда эффективно для вычисления интегралов от тригонометрических функций, в частности, для , в случае, когда один из показателей – нечетное
отрицательное целое число.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Множитель  выбираем так, чтобы в интеграле  степень функции в знаменателе уменьшилась. Полагая , имеем

 

.

5. Иногда формула (*) позволяет искомый интеграл выразить через некоторые функции и этот же интеграл. Полученное равенство является уравнением относительно искомого интеграла. Решив это уравнение, вычислим интеграл. Интегралы такого типа называют возвратными.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ.

.

Получили уравнение для значения . Используя табличный
интеграл 10, окончательно имеем .

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.