Площадь в полярных координатах начало

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями   и .  Подпись:  
                 Рис.3.3
     

        Р е ш е н и е. Первая окружность лежит в правой полуплоскости, проходит  через полюс , касаясь вертикальной  прямой. Вторая окружность лежит в верхней полу­плоскости, проходит через полюс   , касаясь горизонтальной прямой. Следовательно, полюс есть точка пересечения окружностей. Другая точка пересечения окруж­ностей В находится из уравнения ,  откуда В (arctg, ). Из рис. 3.3 видно, что искомая площадь S равна сумме площадей сегментов ОАВО и ОСВО, причем сегменты примыкают друг к другу по лучу . При этом дуга ВАО описывается концом полярного радиуса  первой окружности при , а дуга ОСВ описывается концом полярного радиуса   второй окружности при . Поэтому Следовательно, .

 

ПРИМЕР 4. Вычислить интеграл , используя ранее
полученную формулу.

РЕШЕНИЕ. Здесь , . Получаем

.

Понятие о РЕКУРРЕНТНОМ выражении для интеграла покажем на примере вычисления интеграла от тригонометрической функции.

ПРИМЕР. Вычислить интеграл  до конца при общем значении  громоздко. Поэтому обычно  выражают через , ,  , ; получают рекуррентное соотношение для .

.

Разрешая относительно  полученное равенство, имеем соотношение , , пользуясь которым можно вычислять (последовательно)  при всяком , начиная с .

Например, ;  и т.д.

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.