Вычисление обьема тела начало

Пример 10. Вычислить объем тела, которое получается от вращения кардиоиды , вокруг полярной оси.

  Р е ш е н и е. Кардиоида изображена на рис.2.3 Искомый объем представляет собой разность объемов, получаемых от вращения вокруг оси Ох (она же и полярная ось) фигур MNKLO и OKLO.

 Перейдем, как и в предыдущей задаче, к параметрическому заданию кривой, приняв за параметр полярный угол :

,

.

Очевидно, что абсцисса точки М равна 2а (значение х при ). Абсцисса же точки К есть значение минимума функции .

  Найдем этот минимум:

,

.

 При  получаем , при  получаем .

  Следовательно, искомый объем равен

.

Делая замену , получим

,

Таким образом:

 

 

 

 

  0

 

 

  0

   

ПРИМЕР 5. Для функции  представить в пространстве переменных  множество точек ее существования; указать свойства этого множества.

Решение. .

Множество  состоит из всех точек шара (без границы – сферы)
с радиусом 1 и центром в начале координат.

Свойства :  – открытое, связное, ограниченное,
не замкнутое множество.

ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФНП

ПРИМЕР 1. Доказать по определению .

Решение. Берем . Ищем  так, чтобы

.

Верно соотношение

формулы Тейлора; существуют различные формы записи для , например,  – бесконечно малая при  функция более высокого порядка малости,
чем .

Для функции двух переменных при  формула Тейлора имеет вид

,

где ;

;

, , .

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.