Вычисление обьема тела начало

Пример 3. На всех хордах круга радиуса R, параллельных одному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты h. Плоскос­ти сегментов перпендикулярны к плоскости круга.

 Найти объем образованного таким путем тела (рис. 4.3).

Подпись:  
                  
                    Рис.4.3

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Предваритель­но вычислим площадь парабо­лического сегмента с основа­нием а и высотой h. Распо­ложим оси координат так, как указано на рис.4.4. В этом случае уравнение параболы будет .

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

Определим  параметр . Подставив координаты точки , получим  отсюда , следовательно, уравнение параболы  а искомая площадь —

.

Теперь вычислим объем тела. Если расположить оси координат так, как показано на рис. 4.3, то в сечении тела плоскостью, перпенди­кулярной к оси Ох, в точке с абс­циссой х получится параболический сегмент, площадь которого, как мы видели, равна , где . Следовательно,  и

.

ПРИМЕР 2. Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением  в окрестности точки .

Решение. Можно применить формулы для  и , но в данном случае проще продифференцировать тождество, соответствующее уравнению, сначала по  (), а затем по ().
Получим 1) , откуда  и ; аналогично

2)   и отсюда .

Для нахождения производной  дифференцируем еще раз по  первое тождество (), получаем

  или , отсюда  и .

Аналогично вычисляются другие частные производные второго и большего порядка.

ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФНП

Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП

  (*)

в зависимости от вида множества  – множества допустимых аргументов . При этом под символом  можно понимать максимум () или минимум (), но чаще решается задача минимизации ФНП, поскольку .

Если   – область определения ФНП, то задача (*) называется задачей нахождения  ФНП без ограничений (задачей безусловного экстремума).

Пусть ФНП  задана на области ,  – внутренняя точка этой области. Тогда ФНП  имеет в точке  локальный безусловный , если существует окрестность , для всех
точек  которой приращение функции  сохраняет знак, причем  при ,  при .

Необходимые условия существования локального экстремума ФНП: если в точке   ФНП  имеет локальный экстремум, то в этой точке ее частные производные либо равны нулю, либо не существуют.

Для дифференцируемой в точке экстремума функции  все частные производные , , т.е. при  . Итак, точки локального экстремума ФНП  находятся либо среди точек, в которых функция не дифференцируемая, либо среди тех, в которых дифференциал первого порядка обращается в ноль.

Достаточные условия существования локального экстремума: для дважды непрерывно дифференцируемой ФНП , если  и если  является положительно определенной (соответственно отрицательно-определенной) квадратичной формой относительно приращений независимых переменных, то в точке  функция  имеет локальный минимум (соответственно максимум).

Действительно, поскольку имеем

,

где , то интуитивно ясно, что в достаточно малой окрестности точки  – "подозрительной" точки на    – получаем

.

Для установления знакоопределенности квадратичной формы  применяется критерий Сильвестра*.

Пусть матрица  имеет главные миноры

.

Для положительной определенности квадратичной формы  необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были положительны, т.е.  .

Для отрицательной определенности квадратичной формы  необходимо и достаточно, чтобы знаки значений главных
миноров чередовались, начинаясь с отрицательного, т.е.

.

 

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.