Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Вычисление обьема тела начало

Пример 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади, ограниченной осями координат и параболой .

Подпись:  
              Рис.4.4

 

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Найдем точки пересечения кривой с осями коорди­нат: при   , при  . Таким образом, отрезок интегрирования есть .

 Далее, из уравнения параболы получим . Поэтому

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ

Если 1)  – непрерывная функция в некоторой окрестности , ; 2) ,  – непрерывные функции в ; 3), ,

то уравнение  определяет на некотором интервале однозначную непрерывную неявно заданную функцию  такую, что   на ; ;

в   существует производная этой функции

.

Аналогичные утверждения имеют место и для ФНП. Например, уравнение   задает неявно функцию  в
некоторой окрестности точки , если: 1)  – непрерывная функция в некоторой окрестности , ; 2) все частные производные функции   – непрерывные функции в ; 3) , .

При этом снова, не зная явного выражения для функции , можно вычислить ее частные производные, например,
по формулам .

Приближенное представление для неявно заданной функции в  можно получить, применяя формулу Тейлора.

ПРИМЕР 1. Проверить, что уравнение  в окрестности точки  задает неявно функцию . Найти приближенно явное представление этой функции, используя формулу
Тейлора при .

Решение. Условия существования неявно заданной функции выполнены: 1) функция   непрерывна на плоскости ; 2) ее частные производные  и   также всюду непрерывны; 3) , . Поэтому рассматриваемое уравнение в окрестности точки  задает функцию  неявно, причем ; и существует производная ее

.

Заметим, что вовсе необязательно находить  по формуле, иногда удобнее дифференцировать тождество  и из получающегося уравнения относительно  найти значение этой производной. Например, в нашем случае для тождества  имеем

,

отсюда находим ; естественно, что результат совпадает с ранее полученным.

Для нахождения приближенного явного выражения

надо вычислить ,  и . Снова дифференцируем по  тождество, связывающее ,  и , получаем

.

Подставляя в это тождество (по ) значения , , , вычисляем .

Итак, в некоторой окрестности  

.

Погрешность приближения определяется качественно отбрасываемым остаточным членом формулы Тейлора .