Вычисление обьема тела начало

Пример 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади, ограниченной осями координат и параболой .

Подпись:  
              Рис.4.4

 

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Найдем точки пересечения кривой с осями коорди­нат: при   , при  . Таким образом, отрезок интегрирования есть .

 Далее, из уравнения параболы получим . Поэтому

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ

Если 1)  – непрерывная функция в некоторой окрестности , ; 2) ,  – непрерывные функции в ; 3), ,

то уравнение  определяет на некотором интервале однозначную непрерывную неявно заданную функцию  такую, что   на ; ;

в   существует производная этой функции

.

Аналогичные утверждения имеют место и для ФНП. Например, уравнение   задает неявно функцию  в
некоторой окрестности точки , если: 1)  – непрерывная функция в некоторой окрестности , ; 2) все частные производные функции   – непрерывные функции в ; 3) , .

При этом снова, не зная явного выражения для функции , можно вычислить ее частные производные, например,
по формулам .

Приближенное представление для неявно заданной функции в  можно получить, применяя формулу Тейлора.

ПРИМЕР 1. Проверить, что уравнение  в окрестности точки  задает неявно функцию . Найти приближенно явное представление этой функции, используя формулу
Тейлора при .

Решение. Условия существования неявно заданной функции выполнены: 1) функция   непрерывна на плоскости ; 2) ее частные производные  и   также всюду непрерывны; 3) , . Поэтому рассматриваемое уравнение в окрестности точки  задает функцию  неявно, причем ; и существует производная ее

.

Заметим, что вовсе необязательно находить  по формуле, иногда удобнее дифференцировать тождество  и из получающегося уравнения относительно  найти значение этой производной. Например, в нашем случае для тождества  имеем

,

отсюда находим ; естественно, что результат совпадает с ранее полученным.

Для нахождения приближенного явного выражения

надо вычислить ,  и . Снова дифференцируем по  тождество, связывающее ,  и , получаем

.

Подставляя в это тождество (по ) значения , , , вычисляем .

Итак, в некоторой окрестности  

.

Погрешность приближения определяется качественно отбрасываемым остаточным членом формулы Тейлора .

 

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.