Вычисление обьема тела начало

Пример 9. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной  астроидой: ;

 

Подпись:  
              
                 Рис.4.9

.

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Искомый объем V равен удвоенному объему, полученному вращением фигуры ОАВ (рис.4.9).

Вычислить двойной интеграл , в котором область определения R ограничена прямыми . Замена переменных в двойных интегралах

Поэтому

.

0

а

  0

 Делаем замену переменной

  ,

 ,

 ,

 Следовательно,

.

.

 

ПРИМЕР 9. Для  точка  не является точкой непрерывности функции, т.е. является точкой
разрыва функции, причем  и функция не является ограниченной в окрестности точки .

ПРИМЕР 10. Для функции  всякая
точка на оси   или на оси  является точкой разрыва, причем в окрестности такой точки  ограничена.

 

Классификация точек разрыва функции двух и более аргументов не проводится. Поведение ФНП в окрестности точки определяется предельным поведением функции   при приближении  к
предельной точке .

ПРИМЕР 1. Найти частные производные первого порядка функции  в точке .

Решение. ;

; .

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.