Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах начало

  Пример 1. Вычислить длину дуги полукубической параболы

заключенной между точками (0, 0) и (4, 8) (рис.5.1).

 Р е ш е н и е. Функция у(х) определена для . Поскольку данные точки лежат в первой четверти, . Отсюда

  и .

Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями . Замена переменных в двойных интегралах

Следовательно,

.

ПРИМЕР 8. Показать, что функция

  непрерывна в точке  по каждой координате  и , но не является непрерывной в точке  по совокупности переменных.

Решение. При  имеем

и ,

аналогично при  .

Поскольку  – зависит от , т.е.
не существует, то по совокупности переменных  не является непрерывной в точке .

Для ФНП  – непрерывной в точке  имеем:

ограниченность функции в некоторой окрестности точки;

сохранность знака функции в некоторой окрестности точки , если ;

выполнимость теоремы "об арифметике функций", непрерывных в одной и той же точке;

непрерывность сложной ФНП  в точке , если , где , непрерывна в точке , и  непрерывна в точке .

 

Функция  непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества. Свойства ФНП, непрерывной на ограниченном связном замкнутом множестве, формулируются аналогично соответствующим свойствам ФОП, непрерывной на замкнутом отрезке.

Понятие точки разрыва ФНП  вводится как отрицание понятия "непрерывность в точке  функции ".

 

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.