Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах начало

Пример 2. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками с абсциссами .

 Р е ш е н и е. Так как , то

.

Следовательно,

.

  Пример 3. Вычислить длину дуги кривой , заключен­ной между точками с ординатами  и .

Вычислить интеграл . Метод замены переменной

Подпись:  

          Рис.5.1
 

 Р е ш е н и е. В этой задаче удобнее за независимую переменную принять у: тогда  и 

.

  Следовательно,

.

ПРИМЕР 2. Пусть , . Вычислить определитель . Экстремум функции нескольких переменных. Курс лекций по математике

Решение. Поскольку ; ; ; , то получаем

.

Число  можно геометрически интерпретировать как угловой коэффициент касательной прямой к кривой  в точке . Аналогично интерпретируется число . Поэтому уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке   имеет вид

.

ПРИМЕР 3. Записать уравнение касательной плоскости к поверхности   в точке .

Решение. По условию , , . Значение

.

 

Поэтому ; аналогично  и .

Касательная плоскость к полусфере  в точке  описывается уравнением  или  и схематично представлена на рисунке.

 

Для ФНП  – понятие частной производной по ,  вводится аналогично. При этом если  – функция
аргумента , то ее, в свою очередь, можно дифференцировать по ,  и получать частные производные второго порядка . Аналогично вводятся производные более высокого порядка.

 

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.