Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах начало

Пример 4. Вычислить длину дуги астроиды .

  Р е ш е н и е. Как известно, астроида симметрична относительно осей координат и биссектрис координатных углов. Поэтому доста­точно вычислить длину дуги астроиды, заключенной между биссектрисой и осью Qy, и результат умножить на 8.

  В первой четверти  и  при ,

  при .

Замена переменных в двойных интегралах Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.

  Далее

и

.

Следовательно,

.

  Замечание. Если бы мы сначала стали вычислять длину дуги астроиды, лежащей в первой четверти, то пришли бы к интегралу

. подынтегральная функция которого возрастает до бесконечности при .

 

ПРИМЕР 4. Найдите все частные производные второго порядка функции .

Решение. Сначала вычисляем частные производные первого порядка . Затем каждую из этих производных дифференцируем еще раз по переменной  и по переменной . Получаем  – частная производная второго порядка функции   по переменной  дважды, читается "дэ два   по дэ  дважды";

 –

"смешанная" частная производная второго порядка; читается "дэ два   по дэ  и по дэ "; Условия существования определенного интеграла

;

замечаем, что здесь значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования; .

Наконец, .

 

Справедливо УТВЕРЖДЕНИЕ:

если для функции  существуют производные , , ,  в точке  и в некоторой ее окрестности  и при этом "смешанные" производные  и  непрерывны в точке , то , т.е. значение смешанных производных функции к точке  НЕ ЗАВИСИТ от порядка дифференцирования.

Доказательство теоремы подробно изложено, например, в [1].

Заметим, что в случае невыполнения условия непрерывности смешанные производные могут не совпадать.

Утверждения, аналогичные рассмотренному, могут быть доказаны и для смешанных производных любого порядка и для функции большего чем два числа переменных.

Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах начало

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.