Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически начало

Пример 1. Вычислить длину дуги развертки круга ,  от  до .

 Р е ш е н и е. Дифференцируя по , получим

, Метод замены переменной Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной

откуда . Следовательно,

.

ПРИМЕР 2. Для функции  вычислить  и  и сравнить эти значения, если ; ; . Схема исследования графика функции Приведем схему исследования поведения функции и построения ее графика.

Решение. Имеем ;

.

Абсолютная погрешность приближенного равенства  равна , относительная погрешность .

Рассмотренный пример демонстрирует тот факт, что для
дифференцируемой в точке  функции  справедливо приближенное равенство  с погрешностью .

Отсюда, в частности, имеем

,

т.е. этим соотношением функция  "линеаризована" в окрестности точки .

ПРИМЕР 3. Для  найти линейное
приближение в окрестности точки , .

Решение. Вычисляем ;

  в силу симметричного расположения переменных и их равных значений.

Итак,  или окончательно  
в окрестности точки .

 

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.

открытый синус лифтинг