Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически начало

Пример 2. Вычислить длину астроиды:, .

 Р е ш е н и е. Дифференцируя по , получим

;

.

Отсюда

. Вычислить интеграл . Метод замены переменной

Так как функция  имеет период , то

.

  Замечание. Если бы мы забыли, что нужно брать арифметическое значение корня, и положили  то получили бы не­верный результат, так как

.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ФНП

ПРИМЕР 1. Для функции . Найти ,  при произвольных  и .

Решение. Вычисляем последовательно частные производные  и , а затем , ; . Записываем

,

здесь можно также обозначить , . Предельные показатели в микроэкономике Приведем примеры двух предельных показателей в микроэкономике.

Заметим, что если  записать в операторной форме

,

то для дифференциала второго порядка  можно использовать запись

или

,

свернув оператор формально "в квадрат суммы ".

Можно убедиться, что при соответствующих предположениях полный дифференциал третьего порядка  в операторной форме запишется 

или 

.

Например, для  (см. ранее

 

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым переменным; 2) установить число независимых переменных (что соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения каждой частной производной сложной функции). Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.