Алгебра геометрия Математический анализ

Машиностроительное черчение
Единая система конструкторской
документации
Машиностроительные построения
Инженерная графика
Сборочный чертеж
Начертательная геометрия
Геометрические основы
построения чертежа
Конспект лекций по начертательной
геометрии
История искусства
Стили в искусстве Готика
Русский балетный театр
Русское изобразительное искусство
ТКМ
Материаловедение
Основы теории сплавов
Теория конструктивных материалов
Сопромат
Сопративление метериалов
Лабораторные работы
Задачи строительной механики
Лекции физика
Физика
Электричество
Магнетизм
Оптика
Электромагнетизм
Молекулярная физика
Лекции МАИ
Лекции МАИ часть 2
Диэлектрики
Квантовая механика
Физические законы механики
Электромагнитное взаимодействия
Атомные станции
Атомная энергетика
Экология энергетики
Атомная и ядерная физика
Теплотехника
Термодинамика
Билеты к экзамену по физике
Задачи физика электротехника
Решение задач по ядерной физике
Электростатика
Геометрическая оптика
Тепловое излучение
Основы теории сплавов
Теория относительности
Физические основы механики
Законы идеальных газов
Электростатика
Основы электротехники
Постоянный ток
Электромагнетизм
Оптика
Законы теплового излучения
Ядерная физика
Строение атома и молекул
Задачи математика
Математика
1 семестр
2 семестр
3 семестр
4 семестр
Интегралы
Лекции по высшей математике
Вычисление площадей в
декартовых координатах
Аналитическая геометрия
 
Информатика
Восстановление сети после аварии
Основные понятия и категории
информатики
Сетевые операционные системы

Линейная алгебра.

Основные определения

Операция умножения матриц

примеры

Линейная алгебра.

Понятие матрицы. Виды матриц.

 Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

A =  (1.1)

или сокращенно в виде A = (ai j) (i =; j = ). Числа ai j, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (ai j) и B = (bi j) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если ai j = bi j.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы ai i диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

E = .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.

Определители ( детерминанты)

примеры

Элементарные преобразования

Cвойства обратных матриц

Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Метод Крамера

примеры

Решение произвольных систем линейных уравнений

Элементарные преобразования систем

Метод Гаусса

Элементы векторной алгебры

Определение

Линейная зависимость векторов

примеры

Свойства определённого интеграла

Из предыдущего может сложиться неверное впечатление, будто для интегрируемости функции на отрезке необходима её непрерывность. Это не так, и интегрируемыми могут быть и разрывные функции (но, конечно, не все). Достаточно широкий класс интегрируемых функций даёт следующая теорема.

        Теорема 7.4   Пусть функция $ f(x)$монотонна на отрезке $ [a;b]$, то есть либо не убывает, либо не возрастает на нём. Тогда $ f(x)$интегрируема на $ [a;b]$.

        Доказательство.     Разберём случай, когда $ f(x)$не убывает на отрезке, то есть когда из неравенства $ x_1<x_2$( $ x_1,x_2\in[a;b]$) следует, что $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$. Если функция постоянна на отрезке $ [a;b]$, то она непрерывна на нём и, следовательно, интегрируема9. Если же функция не постоянна, то $ f(b)>f(a)$. Рассмотрим тогда произвольное число $ {\varepsilon}>0$и возьмём $ {\delta}=\frac{{\varepsilon}}{f(b)-f(a)}$. Выберем любое разбиение $ X=(x_1;\dots;x_{n-1})$с диаметром $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\leqslant {\delta}$. Тогда нижняя интегральная сумма $ \ul S$получится, если взять точки разметки $ \ov x_i=x_{i-1}$, поскольку ввиду неубывания функции она принимает наименьшее значение в левом конце каждого из отрезков разбиения; аналогично, верхняя интегральная сумма $ \ov S$получится при выборе $ \ov x_i=x_i$(наибольшее значения принимается в правом конце отрезка $ [x_{i-1};x_i]$). Получаем, что

$\displaystyle \ul S\leqslant \wt S(\Xi)\leqslant \ov S,$

где $ \Xi$ -- размеченное разбиение, полученное из $ X$любым выбором точек разметки $ \ov x_i$. Интегрируемость функции $ f$будет доказана, если мы покажем, что $ \ul S$и $ \ov S$имеют один и тот же предел $ I$при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$. Заметим, что при любом разбиении $ X$величины $ \ul S$ограничены сверху числом $ f(b)(b-a)$, а величины $ \ov S$ограничены снизу числом $ {f(a)(b-a)}$, причём эти границы не зависят от выбора разбиения. Значит, существует точная верхняя грань $ \ul I=\sup\ul S$и точная нижняя грань $ \ov I=\inf\ov S$, причём из неравенства $ \ul S\leqslant \ov S$следует, что $ \ul I\leqslant \ov I$и

$\displaystyle \ov S-\ul S\geqslant \ov I-\ul I.$

Покажем, что разность $ \ov S-\ul S\leqslant {\varepsilon}$, если $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$. Действительно, поскольку длины отрезков разбиения $ h_i$меньше $ {\delta}$,

$\displaystyle \ov S-\ul S=\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))h_i\leqslant 
 \sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1})){\delta}=
 {\delta}\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))=$

   

$\displaystyle ={\delta}(f(b)-f(a))=\frac{{\varepsilon}}{f(b)-f(a)}(f(b)-f(a))={\varepsilon}.$

   



Получили, тем самым, что $ \ov I-\ul I\leqslant {\varepsilon}$. Так как в качестве $ {\varepsilon}$мы можем выбрать как угодно малое число, а разность $ \ov I-\ul I$от разбиения (и, следовательно, от выбора $ {\varepsilon}$) не зависит, то $ \ov I-\ul I=0$, то есть $ \ov I=\ul I=I$. Так как $ 0\leqslant \ov S-I\leqslant {\varepsilon}$и $ 0\leqslant I-\ul S\leqslant {\varepsilon}$, то при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$будет $ \ov S\to I$и $ \ul S\to I$. По теореме "о двух милиционерах" тогда и $ \lim\limits_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\wt S(\Xi)=I$, что означает интегрируемость функции $ f$.     

Можно указать также класс функций, ни одна из которых не может быть интегрируемой на отрезке $ [a;b]$. А именно, имеет место следующее утверждение:

Линейные операции над векторами в координатах

примеры

Векторное произведение векторов

примеры

Смешанное произведение векторов

Уравнение поверхности в пространстве

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости

Уравнение плоскости в отрезках

примеры

Аналитическая геометрия

Уравнение линии на плоскости

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Нормальное уравнение прямой

Угол между прямыми на плоскости

примеры

Кривые второго порядка.

Гипербола

Пример

Парабола

   Теорема 7.6   Из интегрируемости функции $ f(x)$на отрезке $ [a;b]$следует, что она интегрируема и на любом отрезке $ [a';b']\sbs[a;b]$.

        Доказательство.     Рассмотрим для любого разбиения $ X$отрезка $ [a;b]$то разбиение $ X'$отрезка $ [a';b']$, которое получается, если включить в $ X'$те точки из $ X$, которые попадают на отрезок $ [a';b']$. Если $ \ul S(X')$и $ \ov S(X')$ -- нижняя и верхняя интегральные суммы, соответствующие $ X'$, то легко видеть, что

$\displaystyle 0\leqslant \ov S(X')-\ul S(X')\leqslant \ov S(X)-\ul S(X).$

Поэтому если функция интегрируема на $ [a;b]$, то есть суммы $ \ov S(X)$и $ \ul S(X)$имеют общий предел при измельчении разбиения, то и суммы $ \ov S(X')$и $ \ul S(X')$будут иметь общий предел, так как их разность стремится к 0, причём $ \ov S(X')$не увеличиваются, а $ \ul S(X')$не уменьшаются при добавлении дополнительных точек для измельчения разбиения. Наличие общего предела у $ \ov S(X')$и $ \ul S(X')$означает интегрируемость $ f(x)$на $ [a';b']$.     

Вследствие доказанной теоремы мы можем теперь освободиться в теореме об аддитивности интеграла от требования, чтобы функция была интегрируема на каждом из двух отрезков $ [a;c]$и $ [c;b]$, на которые разбивается отрезок $ [a;b]$: интегрируемость на этих двух отрезках автоматически следует из интегрируемости на $ [a;b]$. Более того, справедливо следующее замечание.

        Замечание 7.2   Добавляя отрезки по одному, мы получаем такое утверждение: если отрезки $ [a_0;b_0],\ [a_1;b_1],\ \dots,\ [a_m;b_m]$расположены на оси $ Ox$один за другим, то есть $ b_0=a_1$, ..., $ b_{m-1}=a_m$, и функция $ f(x)$интегрируема на объединении отрезков $ [a_j,b_j]$, $ j=0,\dots,m$, то есть на $ [a_0;b_m]$, то она интегрируема на каждом из частичных отрезков $ [a_j;b_j]$, причём

$\displaystyle \int_{a_0}^{b_m}f(x)\;dx=\sum_{j=0}^m\int_{a_j}^{b_m}f(x)\;dx.$

Это равенство также выражает свойство аддитивности определённого интеграла, применительно к разбиению отрезка на конечное число частей.     

Аддитивность в сочетании с утверждением теорем об интегрируемости монотонной и непрерывной функций даёт следующее предложение.

        Теорема 3.7   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную на отрезке $ [a;b]$. Пусть отрезок $ [a;b]$можно разбить на конечное число частей $ [a_j;b_j]$, $ j=0,1,2,\dots,m$, $ a_j=b_{j-1}$при $ j=0,1,\dots,m-1$, так что в пределах каждой из частей функция непрерывна либо монотонна на интервале $ (a_j;b_j)$, а в точках $ a_j=b_{j-1}$либо непрерывна, либо имеет разрывы первого рода. Тогда функция $ f(x)$интегрируема на $ [a;b]$.

        Доказательство.     Согласно свойству аддитивности ( замечание 7.2), достаточно доказать, что функция $ f(x)$интегрируема на каждом из замкнутых отрезков $ [a_j;b_j]$. Фиксировав такой отрезок, переопределим, если нужно, функцию $ f(x)$в двух точках $ a_j$и $ b_j$, положив её равной соответственно $ f(a_j)=\lim\limits_{x\to a_j+}f(x)$и $ f(b_j)=\lim\limits_{x\to b_j-}f(x)$; по условию теоремы, оба этих предела существуют. Тогда "исправленная" функция либо непрерывна, либо монотонна на всём отрезке $ [a_j;b_j]$и, следовательно, интегрируема на $ [a_j;b_j]$, согласно теоремам 7.3 и 7.4. Но тогда исходная функция, отличающаяся от "исправленной" только лишь, возможно, в двух точках, тоже интегрируема на $ [a_j;b_j]$, согласно замечанию 7.1. Этим завершается доказательство теоремы.     

Следующее свойство свидетельствует о том, что при интегрировании сохраняется знак неравенства.

        Теорема 3.8   Пусть интегрируемые на отрезке $ [a;b]$функции $ f(x)$и $ g(x)$таковы, что $ f(x)\leqslant g(x)$при всех $ x\in[a;b]$. Тогда

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^bg(x)\;dx.$

        Доказательство.     Рассмотрим любое размеченное разбиение $ \Xi=(X,\ov X)$. Для любой точки разметки $ \ov x_i$, лежащей на отрезке разбиения $ [x_{i-1};x_i]$длины $ h_i$, согласно предположению, выполнено неравенство $ f(\ov x_i)\leqslant g(\ov x_i)$и, следовательно, неравенство $ f(\ov x_i)h_i\leqslant g(\ov x_i)h_i$, поскольку $ h_i>0$. Суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем

$\displaystyle \wt S_f=\sum\limits_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i\leqslant \sum\limits_{i=1}^ng(\ov x_i)h_i=
\wt S_g,$

то есть интегральные суммы $ \wt S_f$и $ \wt S_g$, построенные, соответственно, для функций $ f$и $ g$по любому размеченному разбиению $ \Xi$, связаны тем же знаком неравенства, что и данные функции. Поскольку переход к пределу по базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$сохранит знак неравенства, согласно одному из свойств пределов, то получаем, что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...qslant
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_g=
\int_a^bg(x)\;dx,$

что и требовалось доказать.     

Системы координат

Полярная система координат

Уравнение кривой в полярной системе координат

Цилиндрическая и сферическая системы координат

Аналитическая геометрия в пространстве

Параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

 Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

Угол между плоскостями.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве

Линейное (векторное) пространство

Свойства линейных пространств

Примеры

Матрицы линейных преобразований

Примеры

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

Рассмотрим частный случай.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Пример

Квадратичные формы

Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х1, х2) = 27.

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

 

Введение в математический анализ

Числовая последовательность

Определение

Ограниченные и неограниченные последовательности

Монотонные последовательности

Число е

Связь натурального и десятичного логарифмов

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности

Основные теоремы о пределах

Бесконечно малые функции

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Свойства эквивалентных бесконечно малых

Некоторые замечательные пределы

Пример

Непрерывность функции в точке

Непрерывность некоторых элементарных функций

Точки разрыва и их классификация

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Пример

Комплексные числа

Тригонометрическая форма числа

Возведение в степень

Показательная форма комплексного числа

Разложение многочлена на множители

Пример

Элементы высшей алгебры

Основные понятия теории множеств

Операции над множествами

Пример

Отношения и функции

Алгебраические структуры

Дискретная математика

Элементы комбинаторики

Бином Ньютона. (полиномиальная формула)

Пример

Элементы математической логики

Конъюнкция Дизъюнкция

Импликация Эквиваленция

Примеры

Булевы функции

Исчисление предикатов

Конечные графы и сети. Основные определения

Матрицы графов

Примеры

Достижимость и связность.

Деревья и циклы

Элементы топологии

Открытые и замкнутые множества

Непрерывные отображения

Топологические произведения

Курс лекций - второй семестр

Курс лекций - третий семестр

Курс лекций - четвертый семестр