Курс высшей математики Оглавление

Линейная aлгебра.

 

Основные определения.

Определение. Матрицей  размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А =
Основные действия над матрицами.

 Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

 Определение. Матрица вида: = E, называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической. Пример. - симметрическая матрица Определение. Квадратная матрица вида  называется диагональной матрицей.  Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aij ± bij С = А + В = В + А.  Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. a (А+В) =aА ± aВ А(a±b) = aА ± bА Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В. 2А = , 2А + В = .

Скалярное произведение векторов. Векторное и смешенное произведение векторов. Их использование.

Скалярным произведением двух векторов  и  (обозначается ) называется число, равное произведение модулей перемножаемых векторов на косинус угла  между ними (рис. 3.6). Таким образом, по определению

 . (2.16)

Так как произведение  есть проекция вектора  на ось, определяемую вектором  (обозначается ), и  - проекция вектора  на ось вектора  (обозначается ), то из (3.16) следует, что

 . (2.17)

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию на него другого вектора. Из (3.17) находим выражения для проекции одного вектора на направление другого:

  (2.18)

В частном случае, если , то

  (2.19)

Проекция вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов.

Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.

1о. Скалярное произведение коммутативно:

 .

2о. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярных множителей:

 

3о. Скалярное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов:

 .

4о.  (либо , либо , либо ). Таким образом, условием ортогональности (перпендикулярности) двух ненулевых векторов  и  является равенство нулю их скалярного произведения, т.е.

 

Рассмотрим теперь скалярное произведение вектора самого на себя. Такое произведение называется скалярным квадратом вектора:

 .

Таким образом,

 , (2.20)

т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Найдем выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов. Координатные орты  имеют длины, равные единице, т.е. . Далее, так как эти векторы взаимно ортогональны, то .

Пусть даны два вектора  и . В таком случае

 , (2.21)

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат.

В частности, положив в (2.21) , найдем

 .

Отсюда следует, что

 . (2.22)

Используя координатную форму скалярного произведения, получаем, что условие ортогональности ненулевых векторов  и  имеет вид

 . (2.23)

Выражая скалярное произведение и модули векторов через их проекции по формулам (3.21) и (3.22), получим формулу для нахождения косинуса угла   между векторами:

 . (2.24)

Пусть дан вектор  и ось l, которая составляет с базисными векторами   соответственно углы . Найдем . Для этого зададим направление оси  l ортом . Тогда, согласно (2.19)

 . (2.25)

Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.
Компрессор 302ВП-10-8