Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Линейное (векторное) пространствоОглавление

 

Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.

  Эта общность свойств позволяет обобщить понятие линейных операций для любых множеств вне зависимости от того, что это за множества (числа, матрицы и т.д.).

  Для того, чтобы дать определение линейного (векторного) пространства рассмотрим некоторое множество L действительных элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число.

 Эти операции обладают свойствами:

1) Коммутативность + = +

2) Ассоциативность (+) + = + (+)

3)Существует такой нулевой вектор , что +=для "Î L

4) Для "Î L существует вектор  = -, такой, что +=

 5)1× =

  6) a(b) = (ab)

  7) Распределительный закон (a + b) = a+ b

 8) a(+) = a+ a

 

  Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

  Важно не путать понятие вектора, приведенное выше с понятием вектора как направленного отрезка на плоскости или в пространстве. Направленные отрезки являются всего лишь частным случаем элементов линейного (векторного) пространства. Линейное (векторное) пространство – понятие более широкое. Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.

 Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.

         Следствие 7.1   Пусть на отрезке $ [a;b]$задана интегрируемая функция $ f(x)$, причём для всех $ x\in[a;b]$имеет место неравенство $ m\leqslant f(x)\leqslant M$, где $ m$и $ M$ -- некоторые постоянные. Тогда

$\displaystyle m(b-a)\leqslant \int_a^bf(x)\;dx\leqslant M(b-a).$

(7.4)



        Доказательство.     Действительно, из предыдущей теоремы следует, что

$\displaystyle \int_a^bm\;dx\leqslant \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^bM\;dx.$

Выше мы уже замечали, что для любой постоянной $ C$

$\displaystyle \int_a^bC\;dx=C(b-a),$

откуда $ \int_a^bm\;dx=m(b-a)$и $ \int_a^bM\;dx=M(b-a),$что и доказывает утверждение следствия.     

Из этого следствия выводится следующая теорема, которая носит название теоремы о среднем:

        Теорема 3.9   Пусть функция $ f(x)$непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда существует такая точка $ x^*\in[a;b]$, что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=f(x^*)(b-a).$

        Доказательство.     Заметим для начала, что по теореме 7.3 функция $ f(x)$интегрируема на $ [a;b]$, так что интеграл в левой части доказываемого равенства существует. Поскольку функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём в некоторых точках $ x_1$и $ x_2$своё наименьшее и наибольшее значения $ m=f(x_1)$и $ M=f(x_2)$, то $ m=f(x_1)\leqslant f(x)\leqslant f(x_2)=M$при всех $ x\in[a;b]$. Согласно неравенству ( 7.4), величина $ \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}$удовлетворяет неравенству

$\displaystyle m\leqslant \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}\leqslant M$

и, следовательно, является промежуточным значением между $ f(x_1)$и $ f(x_2)$. Но непрерывная функция принимает любое своё промежуточное значение в некоторой точке отрезка, значит, существует такая точка $ x^*\in[a;b]$, что

$\displaystyle \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}=f(x^*).$

Умножая последнее равенство на $ b-a$, получаем утверждение теоремы.     

        Теорема 7.10   Пусть функция $ f(x)$интегрируема на отрезке $ [a;b]$. Тогда функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$также интегрируема на $ [a;b]$, причём

$\displaystyle \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx\geqslant \Bigl\vert\int_a^bf(x)\;dx\Bigr\vert.$

(7.5)



        Доказательство.     Докажем сначала, что функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$интегрируема. Пусть $ \ul{y}_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$, $ \ov{y}_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$. $ \ul{z}_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}\vert f(x)\vert$, $ \ov{z}_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}\vert f(x)\vert$. Тогда для произвольных $ x',x''\in[x_{i-1};x_i]$будет

$\displaystyle \vert f(x')\vert-\vert f(x'')\vert\leqslant \vert f(x')-f(x'')\vert\leqslant \ov y_i-\ul y_i,$

откуда

$\displaystyle 0\leqslant \ov z_i-\ul z_i\leqslant \ov y_i-\ul y_i.$

Умножая на $ h_i$и суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем:

$\displaystyle 0\leqslant \sum_{i=1}^n(\ov z_i-\ul z_i)h_i\leqslant
\sum_{i=1}^n(\ov y_i-\ul y_i)h_i.$

Поскольку функция $ f$интегрируема, правая часть становится меньше любого $ {\varepsilon}>0$, если разбиение имеет достаточно малый диаметр $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$. Тогда для достаточно мелких разбиений и левые части становятся меньше $ {\varepsilon}$, а значит, предел верхних интегральных сумм совпадает с пределом нижних интегральных сумм для функции $ g=\vert f\vert$. Следовательно, функция $ g=\vert f\vert$интегрируема, согласно теореме 7.1.

Неравенство (7.5) докажем так: запишем очевидные неравенства

$\displaystyle f(x)\leqslant \vert f(x)\vert$    и     $\displaystyle -f(x)\leqslant \vert f(x)\vert$

и к каждому из них применим теорему об интегрировании неравенства

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.