Курс высшей математики Оглавление

Числовая последовательность. 

 Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn} 

 Общий элемент последовательности является функцией от n.

xn = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

  Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

 {xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

 

1)      Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …

2)      Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3)      Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

4)      Частное последовательностей:  при {yn} ¹ 0.

Величина $ \wt S$называется интегральной суммой, построенной для функции $ f$на отрезке $ [a;b]$по размеченному разбиению $ \Xi$; интегральная сумма является функцией от размеченного разбиения и определена на множестве всех размеченных разбиений $ \Xi$.

Величина, равная длине самого большого из отрезков разбиения $ X$, называется диаметром разбиения; то же относится и к размеченному разбиению $ \Xi$. Диаметр размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$будем обозначать $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)$или $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)$. Итак,

$\displaystyle \mathop{\rm diam}\nolimits (X)=\max(x_i-x_{i-1})=\max h_i.$

Если длина каждого из отрезков разбиения меньше некоторого числа $ {\delta}>0$, то это означает, что $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$.

Рассмотрим множество всех размеченных разбиений отрезка $ [a;b]$. При любом значении $ {\delta}>0$существуют разбиения с диаметром, меньшим $ {\delta}$. Достаточно, например, поделить отрезок на $ n$равных частей, взяв достаточно большое число этих частей: $ n>\frac{b-a}{{\delta}}.$Значит, множество $ E_{{\delta}}$размеченных разбиений с диаметром, меньшим $ {\delta}$, не пусто при любом $ {\delta}>0$.

Если взять два значения $ {\delta}$, скажем, $ 0<{\delta}_1<{\delta}_2$, то очевидно, что каждое разбиение диаметра меньше $ {\delta}_1$, одновременно имеет диаметр меньше $ {\delta}_2$, так что $ E_{{\delta}_1}\sbs E_{{\delta}_2}$, если $ {\delta}_1<{\delta}_2$. Так что $ E_{{\delta}_1}\cap E_{{\delta}_2}=E_{{\delta}_1}$.

Вспомним теперь определение базы произвольного предела: база $ \mathcal{B}$состоит из окончаний $ E$, таких что все они непусты и если $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$, то существует третье окончание $ E_3\in\mathcal{B}$, такое что $ E_3\sbs(E_1\cap E_2)$. Наши множества разбиений $ E_{{\delta}}$, как мы только что проверили, образуют некоторую базу в множестве всех разбиений отрезка $ [a;b]$. Действительно, мы проверили, что они непусты и при $ E_1=E_{{\delta}_1}$и $ E_2=E_{{\delta}_2}$в качестве $ E_3$можно взять $ E_1=E_{{\delta}_1}$, если $ {\delta}_1=\min\{{\delta}_1;{\delta}_2\}$.

Итак, размеченные разбиения образуют базу $ \mathcal{B}$в том самом множестве, для элементов которого определены значения интегральной суммы $ \wt S(\Xi)$. Эту базу мы будем обозначать $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$. Когда мы берём размеченные разбиения со всё меньшим и меньшим диаметром, мы измельчаем деление отрезка на части, и при этом интегральная сумма может иметь предел, который, в случае положительной непрерывной функции $ f$, равен площади криволинейной трапеции.

Эти соображения приводят нас к следующему основному определению.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.