Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Курс высшей математики Оглавление

Числовая последовательность. 

 Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn} 

 Общий элемент последовательности является функцией от n.

xn = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Мастурбируй онлайн

  Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

 {xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

 

1)      Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …

2)      Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3)      Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

4)      Частное последовательностей:  при {yn} ¹ 0.

Величина $ \wt S$называется интегральной суммой, построенной для функции $ f$на отрезке $ [a;b]$по размеченному разбиению $ \Xi$; интегральная сумма является функцией от размеченного разбиения и определена на множестве всех размеченных разбиений $ \Xi$.

Величина, равная длине самого большого из отрезков разбиения $ X$, называется диаметром разбиения; то же относится и к размеченному разбиению $ \Xi$. Диаметр размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$будем обозначать $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)$или $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)$. Итак,

$\displaystyle \mathop{\rm diam}\nolimits (X)=\max(x_i-x_{i-1})=\max h_i.$

Если длина каждого из отрезков разбиения меньше некоторого числа $ {\delta}>0$, то это означает, что $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$.

Рассмотрим множество всех размеченных разбиений отрезка $ [a;b]$. При любом значении $ {\delta}>0$существуют разбиения с диаметром, меньшим $ {\delta}$. Достаточно, например, поделить отрезок на $ n$равных частей, взяв достаточно большое число этих частей: $ n>\frac{b-a}{{\delta}}.$Значит, множество $ E_{{\delta}}$размеченных разбиений с диаметром, меньшим $ {\delta}$, не пусто при любом $ {\delta}>0$.

Если взять два значения $ {\delta}$, скажем, $ 0<{\delta}_1<{\delta}_2$, то очевидно, что каждое разбиение диаметра меньше $ {\delta}_1$, одновременно имеет диаметр меньше $ {\delta}_2$, так что $ E_{{\delta}_1}\sbs E_{{\delta}_2}$, если $ {\delta}_1<{\delta}_2$. Так что $ E_{{\delta}_1}\cap E_{{\delta}_2}=E_{{\delta}_1}$.

Вспомним теперь определение базы произвольного предела: база $ \mathcal{B}$состоит из окончаний $ E$, таких что все они непусты и если $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$, то существует третье окончание $ E_3\in\mathcal{B}$, такое что $ E_3\sbs(E_1\cap E_2)$. Наши множества разбиений $ E_{{\delta}}$, как мы только что проверили, образуют некоторую базу в множестве всех разбиений отрезка $ [a;b]$. Действительно, мы проверили, что они непусты и при $ E_1=E_{{\delta}_1}$и $ E_2=E_{{\delta}_2}$в качестве $ E_3$можно взять $ E_1=E_{{\delta}_1}$, если $ {\delta}_1=\min\{{\delta}_1;{\delta}_2\}$.

Итак, размеченные разбиения образуют базу $ \mathcal{B}$в том самом множестве, для элементов которого определены значения интегральной суммы $ \wt S(\Xi)$. Эту базу мы будем обозначать $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$. Когда мы берём размеченные разбиения со всё меньшим и меньшим диаметром, мы измельчаем деление отрезка на части, и при этом интегральная сумма может иметь предел, который, в случае положительной непрерывной функции $ f$, равен площади криволинейной трапеции.

Эти соображения приводят нас к следующему основному определению.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.
Дробильно сортировочным комплексом. Дробильно сортировочный комплекс .