Курс высшей математики Оглавление

Линейная лгебра.

Матричный метод решения систем линейных уравнений.  

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.  Метод удобен для решения систем невысокого порядка.  Метод основан на применении свойств умножения матриц.   Пусть дана система уравнений Составим матрицы: A = B = X = . Систему уравнений можно записать: A×X = B. Сделаем следующее преобразование: A-1×A×X = A-1×B, т.к. А-1×А = Е, то Е×Х = А-1×В Х = А-1×В  Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.  

Пример. Решить систему уравнений: Х = , B = , A = Найдем обратную матрицу А-1. D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30. M11 =  = -5; M21 =  = 1; M31 =  = -1; M12 =  M22 =  M32 = M13 =  M23 =  M33 =  A-1 = ; Cделаем проверку: A×A-1 = =E. Находим матрицу Х. Х = = А-1В = ×= .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3. Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

Вектора. Линейные операции над векторами и их свойства. Декартовые прямоугольные координаты вектора в пространстве, его длина, направление вектора, расстояние между двумя точка.

В математике и ее приложениях различают два типа величин:

1) Величины, для определения которых достаточно знать только одно число. Эти величины называются скалярными или скалярами (длина, площадь, объем, масса, плотность, температура и т. д.).

2) Величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направление в пространстве. Эти величины называют векторными или векторами (сила, скорость, ускорение и т. д.).

Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В, который обозначается символом  или одной строчной буквой (рис. 3.1).

Длиной (или модулем) вектора  называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор. Записи  и  обозначают модули векторов  и  соответственно. Вектор , длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом: орт обозначается .

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается символом . Длина такого вектора равна нулю и ему можно приписать любое направление.

Векторы   и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными ( ).

Два вектора называются равными (), если они: 1) имеют равные модули; 2) коллинеарны; 3) направлены в одну сторону.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным.

Векторы называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Рассмотрим линейные операциями над векторами.

 Произведением вектора  на действительное число  называется вектор , длина которого , а направление совпадает с , если  , и противоположно , если . Из определения следует, что векторы  и  всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Следовательно, равенство

  (2.1)

выражает условие коллинеарности двух векторов.

Противоположным вектором  называется произведение вектора  на число , т.е. . Если , то орт вектора  находится по формуле

 . (2.2)

Суммой двух векторов  и  называется вектор , который идет из начала вектора  в конец вектора  при условии, что вектор  приложен к концу вектора  (рис. 3.2, а) (правило треугольника). Очевидно, что вектор  в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис. 3.2, б) (правило параллелограмма).

Аналогично определяется сумма нескольких векторов: если векторы ,…,  образуют ломаную , то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную (рис. 3.2, в) (правило многоугольника).

В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нулевому вектору  .


Разностью двух векторов   и  называется вектор , являющийся суммой векторов  и . Отметим, что вектор  направлен к концу вектора , если  и  приведены к общему началу ( рис. 2.2, б).

Введенные операции умножения вектора на число и сложения векторов называются линейными и удовлетворяют ( и ) следующим свойствам:

1о. ;  2о. ; 3о. ;

4о. ;  5о. ; 6о. 1 = ;

7о. ;  8о. () = +.

Множество векторов пространства, удовлетворяющих свойствам 1о - 8о, называется линейным или векторным пространством, которое в дальнейшем будем обозначать .

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.