Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление   

 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.  

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

  

  Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

 

 у

  f(x)

 

 

  f(x0 +DxP

  Df

  f(x0M

 

  Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

 

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

 

  Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

 

  Уравнение касательной к кривой:  

 

  Уравнение нормали к кривой: .

 Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

  Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

  Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

 

Принцип равенства

Две действительные матрицы  и  называются равными (записывается ), если они имеют одинаковые размеры, т.е. числа строк и столбцов у этих матриц совпадают, и на одинаковых местах в этих матрицах стоят одинаковые элементы.

Формализуем это определение: пусть

.

Тогда

 ,

где  и  некоторые натуральные числа.

Пример 1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

◄ Прежде всего заметим, что все шесть матриц порождены одними и теми же числами: 0, ±1, 2. Далее, сравнивать между собой можно только матрицы  и , являющиеся квадратными матрицами порядка 2, так как матрицы  и  имеют соответственно размеры  и  и, следовательно, не могут совпадать ни друг с другом, ни с остальными рассматриваемыми здесь матрицами. Матрица   не совпадает ни с одной из матриц , так как в отличие от этих трёх матриц у   вторая строка целиком состоит из нулей. Далее , так как на пересечении первой строки и первого столбца в этих матрицах стоят разные элементы: в , а в . Наконец, равенства   показывают, что . ►

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.