Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление   

 

Производные и дифференциалы высших порядков.

 

 Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

  Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

 

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

 

Общие правила нахождения высших производных. 

 Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

 

1)      u)(n) = Cu(n);

2)      (u ± v)(n) = u(n) ± v(n);

3)

.

 Это выражение называется формулой Лейбница.

Также по формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n- го порядка.

 

Квадратная матрица называется элементарной, если она получена из единичной матрицы с помощью одного элементарного преобразования. Несмотря на то, что имеется шесть видов элементарных преобразований, три строчных и три столбцовых, видов элементарных матриц всего три, так как одна и та же элементарная матрица может быть получена как с помощью строчного так и с помощью столбцового элементарных преобразований.

 ◄ Действительно, элементарные преобразования   и  порождают одну и ту же элементарную матрицу

 

 
 (1.17)

Элементарные преобразования  и  порождают одну и ту же элементарную матрицу

 

 
 (1.18)

Наконец, элементарные преобразования  и  порождают одну и туже элементарную матрицу

 

 

 
  (1.19)

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.