Строймех | |||
Сопромат | |||
Математика | |||
Карта |
Методы интегрирования.
Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.
Рассмотрим применение этого метода на примере:
Требуется найти значение интеграла
. На основе известной формулы дифференцирования
можно сделать вывод, что искомый интеграл равен
, где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны
. Таким образом, окончательно можно сделать вывод:
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.
Функция
двух переменных называется непрерывной в точке
, если
. Например, функция
непрерывна в любой точке плоскости,
за исключением начала координат. Здесь функция терпит бесконечный разрыв.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Рассмотрим
функцию , определенную в точке
и некоторой ее окрестности. Если переменной
придать некоторое приращение
, а
оставить постоянной, то функция
получит приращение
, называемое частным приращением функции
по переменной
.
Аналогично,
называют частным приращением функции
по переменной
.
Пределы ,
, если они существуют, называются частными производными
функции
по переменным
и
соответственно.
|