Инженерная графика	Физика	Атомные станции	Строймех
ТКМ	Начертательная геометрия	Экология энергетики	Сопромат
Готика	Черчение	Теплотехника	Математика
Театр	Конспект лекций	Атомная энергетика	Карта

Интегральное исчисление курс лекций   

Методы интегрирования. Способ подстановки (замены переменных).

  Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

 

  Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

 

  Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

 

  Пример.

Замена  Получаем:

  Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

 

 

Частная производная  вычисляется как производная от функции  по переменной  при условии, что .

Частная производная  вычисляется по  при условии, что .

Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функции любого числа переменных.

Пример. Найти частные производные функции .

Решение. Считая, что  – независимая переменная, , находим:

.

Считая, что  – независимая переменная, а , находим:

Полным приращением функции  называется разность

.

Главная часть полного приращения функции , линейно зависящая от приращений независимых переменных  и , называется полным дифференциалом и обозначается . Если функция имеет непрерывные частные производные, то

  ,

где ,  – приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами. С точностью до бесконечно малых величин высшего порядка относительно   и  верно равенство . Последнее применяется для нахождения приближенного значения функции в точке:

  .

Функция , где , , называется сложной функцией переменных . Для нахождения частных производных сложных функций используются следующие формулы:

, 

 .