Строймех | |||
Сопромат | |||
Математика | |||
Карта |
Методы интегрирования. Способ подстановки (замены переменных).
Теорема: Если требуется найти интеграл
, но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:
По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:
f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.
Пример. Найти неопределенный интеграл
.
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
Пример.
Замена
Получаем:
Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.
Частная производная
вычисляется как производная от функции
по переменной
при условии, что
.
Частная производная
вычисляется по
при условии, что
.
Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функции любого числа переменных.
Пример. Найти частные производные функции
.
Решение. Считая, что
– независимая переменная,
, находим:
.
Считая, что
– независимая переменная, а
, находим:
Полным приращением функции
называется разность
.
Главная часть полного приращения функции
, линейно зависящая от приращений независимых переменных
и
, называется полным дифференциалом и обозначается
. Если функция имеет непрерывные частные производные, то
,
где
,
– приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами. С точностью до бесконечно малых величин высшего порядка относительно
и
верно равенство
. Последнее применяется для нахождения приближенного значения функции в точке:
.
Функция
, где
,
, называется сложной функцией переменных
. Для нахождения частных производных сложных функций используются следующие формулы:
,
.
|