Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)

1)      Если а>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой

.

2)      Если a<0 и c>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой .

3)      Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(xx1)(xx2), то интеграл вида  рационализируется подстановкой  

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,

т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

 

3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

 

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.

Далее делается следующее преобразование:

 

в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а l - некоторая постоянная величина.

  Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на  и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют l и коэффициенты многочлена Q(x).

  Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

Криволинейный интеграл по координатам

(криволинейный интеграл второго рода)

Если  – график функции , , то криволинейный интеграл по кривой  при перемещении из точки   в точку  равен

 .

Если кривая  задана в пространстве параметрическими уравнениями  и , то

.

Кроме обычных свойств интеграла отметим, что при изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак на противоположный

.

Криволинейный интеграл II рода численно равен работе, которую совершает переменная сила  на криволинейном пути .

Пример. Найти работу силы  при перемещении по линии  от точки  к точке .

 Решение. .

.

Если путь интегрирования простая замкнутая кривая , то криволинейный интеграл обозначают  и вычисляют в направлении против часовой стрелки. Такой интеграл называют циркуляцией.

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.