Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление   

Интегрирование по частям.

 

  Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

  Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.

 

Приближенное вычисление определенного интеграла.

  Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подинтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

 

Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда (2) положительны и не возрастают, т.е. , и пусть  – такая непрерывная невозрастающая функция, что   тогда, если несобственный интеграл  сходится, то и ряд (2) сходится, если же несобственный интеграл расходится, то и ряд (2) расходится. Производные высших порядков Предположим, что функция y = f (x ) дифференцируема в некотором интер­вале (а, в ). Тогда ее производная f' (x ) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в ). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f (x) и обозначается y'' или f'' (x ).

Ряд  называется обобщенным гармоническим рядом. Он сходится при  и расходится при .

Ряд, среди членов которого имеются как положительные, так и отрицательные, называется знакопеременным.

Пусть дан знакопеременный ряд

  (4)

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его элементов

  (5)

Если ряд (5) сходится, то ряд (4) тоже сходится и называется абсолютно сходящимся; если ряд (5) расходится, а ряд (4) сходится, то знакопеременный ряд (4) называется условно (неабсолютно) сходящимся рядом.

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.