Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление   

Интегрирование по частям. Формула прямоугольников.

 

  Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , xm, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей . При этом:

y0 = f(x0), y1 = f(x1), …. , yn = f(xn).

Составим суммы: y0Dx + y1Dx + … + yn-1Dx

 y1Dx + y2Dx + … + ynDx

Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.

  Тогда  или

   - любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.

 

 

При исследовании ряда на абсолютную сходимость используются достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Если ряд (4) сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов получается ряд абсолютно сходящийся. При этом сумма нового ряда не изменится.

Если ряд (4) сходится условно, то для любого числа  можно так переставить члены ряда, что сумма нового ряда окажется равной . Кроме того, можно так переставить члены ряда, что новый ряд станет расходящимся.

Числовой ряд вида

 , (6)

где , называется знакочередующимся рядом.

Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (6) члены ряда таковы, что  и , то ряд (6) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Если знакочередующийся ряд сходится, то можно оценить погрешность, возникающую при замене суммы ряда  частичной суммой . При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, после -го. Эти отброшенные числа сами образуют знакочередующийся ряд, сумма которого по абсолютной величине меньше, чем . Значит, погрешность  будет не больше абсолютной величины первого из отброшенных членов .

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.