Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление   

Интегрирование по частям. Формула трапеций.

 

  Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников.

  Подинтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную.

 

  Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

 

  Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

 

 

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Поскольку , , то .

Следовательно, ряд сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Рассмотрение старших степеней   позволяет предположить, что данный ряд ведет себя так же как ряд , который, как было замечено, расходится. По предельному признаку сравнения

.

Значит, данный ряд тоже расходится.

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.