Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление   

Интегрирование по частям.

Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула).

(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)

 

  Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).

  Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

 у

 

 

 

 

 

 

  Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

   (1)

Обозначим .

Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то  (2)

Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид: 

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (2) примет вид: 

Тогда

смотреть далее  

  Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.

 

  Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

 с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

 

  По формуле Симпсона получим:

  m

  0

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

  10

  x

  -2

  -1

  0

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  f(x)

2.828

3.873

  4

4.123

4.899

6.557

8.944

11.874

15.232

18.947

22.978

 

 

  Точное значение этого интеграла – 91.173.

 Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

 

  Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

  Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

 

  Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подинтегральной функции в степенной ряд.

  Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подинтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.

 

 

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Положим . Эта функция удовлетворяет всем требованиям интегрального признака Коши. Несобственный интеграл

,

т.е. сходится, а значит, данный ряд тоже сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Нетрудно проверить, что . Кроме того, . По признаку Лейбница данный ряд сходится. Нужно выяснить, будет ли ряд сходиться абсолютно. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда . Сравним этот ряд с гармоническим рядом по предельному признаку сравнения , следовательно, ряд из модулей расходится, а данный ряд сходится условно.

Ряд, членами которого являются функции, называется функциональным рядом  (7)

При определенном значении аргумента  ряд (7) превращается в числовой ряд . Областью сходимости ряда (7) называется множество тех значений , при которых ряд сходится.

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.