Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление   

 

Вычисление объемов тел.

 

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Пример: Найти объем шара радиуса R.

 

 

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.

 

  Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

 

 

 

 При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

 Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

 

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

 

 

Пример3: Вычислить определитель

Решение: Разложим определитель по первой строке:

Пример4: Вычислить определитель

Решение: Произведем следующие действия:

Тогда исходный определитель преобразуется к виду:

Разложим этот определитель по элементам 1-го столбца:

Прибавляем к элементам 1-й строки элементы 3-й строки и, вычитая из элементов 2-й строки элементы 3-й строки, получим:

Разложим определитель по элементам 1-го столбца:

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.