Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление   

 

Вычисление объемов тел. 

Площадь поверхности тела вращения.

 

 

 

 Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

 

  Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DPi. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь DSi – длина каждой хорды.

Применяем теорему Лагранжа к отношению .

Получаем:

Тогда

 

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

Тогда  - формула вычисления площади поверхности тела вращения.

 

Действия над матрицами и линейные преобразования

С помощью равенств

значения переменных х и у можно выразить линейно через значения переменных и . Эти равенства принято называть линейным преобразованием переменных и . Их можно рассматривать также как линейное преобразование координат точки (или вектора) на плоскости.

Таблица

называется матрицей рассматриваемого линейного преобразования, а определитель

— определителем линейного преобразования

В дальнейшем будем считать, что DA 0.

Можно также рассматривать линейное преобразование трех переменных (т.е. для пространства)

где

и , — соответственно, матрица и определитель этого преобразования.

vAlign=top>

Матрица А называется невырожденной (неособой), если DA 0. Если же DA = 0, то матрица называется вырожденной (особой).

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, например:

и называются квадратными матрицами соответственно второго и третьего порядков.

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.

рулевая машина ро-5