Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление   

 

Вычисление двойного интеграла.

  Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и

j £ y, тогда

 

  Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x2, x = 2.

 y

 

=

=

  Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

 

 

  Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

 y

 

 

 


 

Площадь грани А1А2А3. SА1А2А3 есть площадь треугольника А1А2А3 и половина площади параллелограмма, построенного на А 1А2 и А 1А3 , которая равна длине вектора N, вычисленного выше.

Найдем объем пирамиды А1 А2 А3 А4.

5) Чтобы найти объем пирамиды, мы можем воспользоваться выражением через объем призмы который, как мы знаем, равен смешанному произведению векторов, на которых, как на ребрах построена призма.

6) Уравнения прямой А1А2: Направляющий вектор - А 1А2 , точка, через которую проходит прямая – А1.

Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении (то есть имеющей данный направляющий вектор)

7) Уравнение плоскости А1А2А3: опорные точки – А123

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

разложим по элементам 1-го столбца:

(х - 1)(-6) - 2[(у - 2)(-1) - 3(z - 3)] = 0 6(1 - х) - 2(2 - у - 3z + 9) = 0 6 - 6х - 22 + 2у + 6z = 0

6х - 2у - 6z + 16 = 0 или 3х - у - 3z + 8 = 0

8) Известно, что наша прямая проходит через точку А4 (3,4.8). Используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (с заданным направляющим вектором).

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.