Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление   

 

Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

 

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

 

 

 

 

  Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4;

x + y – 2 = 0.

  Построим графики заданных функций:

 

  Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от  до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

 

Пример 1.

На правой ветви гиперболы х 2/16 - y2/9 = 1 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше её расстояния от левого фокуса.

Решение: Для правой ветви гиперболы фокальные радиусы - векторы определяются по формулам r1 = ex- а и r2 = ex + а. Следовательно, имеем уравнение ех + а = 2(ех - а), откуда х = 3а /e; здесь а = 4, е = с /a =, т.е. х = 9,6

Ординату находим из уравнения гиперболы:

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки: М 1(9,6;0,6) и М 2(9,6;-0,6).

Пример 2.

Эксцентриситет гиперболы равен . Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М( ).

Решение: Согласно определению эксцентриситета, имеем c/a = , или с 2 = 2а2. Но с 2 = а2 + b2; следовательно а 2 + b2 = 2а2, или а 2 = b2, т.е. гипербола равнобочная.

Другое равенство получим из условия нахождения точки М на гиперболе, т.е. ()2/a2 - ()2/b2 = 1, или 3/a2 - 2/b2 = 1. Поскольку а 2 = b2, получим 3/a2 - 2/а2 = 1, т.е. a2 = 1.

Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид х 2 - у2 = 1.

Парабола - геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса параболы) и фиксированной прямой (директрисы параболы). Эта фигура обладает одной осью симметрии. Если директриса параболы перпендикулярна оси Ох, то уравнение кривой имеет вид (у – у0)2 = 2р(х – х0),где р - расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение директрисы x=x0-p/2

Например:

Начертим параболу у2 = 8х.
Сравнивая данное уравнение с уравнением параболы видим, что 2р=8, р=4, х0 =0, у0 =0.

Уравнение директрисы будет x=-p/2, то есть х=-2. Координаты фокуса F(x0+p/2,y0) то есть , F(2,0).

психиатр подольск;hydraruzxpnew4af;вода fiuggi