Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление  

 

Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

 

Вычисление площадей в полярных координатах.

 

  3) Вычисление объемов тел.

  Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y),

а с боков – цилиндрической поверхностью.

Такое тело называется цилиндроид.

 

  V =

  Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1;

x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

  Пределы интегрирования: по оси ОХ:

  по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;

 

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Возвратимся теперь к нашей первой теме – матрицам. Рассмотрим теперь прямоугольную матрицу,

имеющую m строк и n столбцов. Ее называют матрица размером m на n. А(mхn). Выделим в этой матрице произвольные к строк и к столбцов. Они образуют квадратную матрицу B(kхk)

Например

Минором К-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, получающейся из данной матрицы выделением произвольных к строк и к столбцов.

Ѕ BЅ =detB- является минором третьего порядка.

Минором второго порядка является, например определитель

Сами элементы матрицы можно рассматривать как миноры первого порядка. Какие-то из миноров равны нулю, какие-то нет. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если ранг А обозначаемый r (A) равен r, то это означает, что в А имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор, порядка больше чем r, равен нулю.

Например, найдем ранг матрицы

1. Проверяем минор 4 порядка

Ѕ AЅ =0, т.к. матрица содержит нулевой столбец.

2. Проверяем миноры 3 порядка

Итак, процесс вычислений миноров прекращаем, поскольку миноров 4 порядка, не равных нулю нет, а минор 3-го порядка найден. Значит r(A)=3.

Мы уже рассматривали методы решения систем линейных алгебраических уравнений, но только в тех случаях, когда матрица системы – квадратная, то есть число уравнений равно числу неизвестных. Рассмотрим теперь самый простой и употребительный способ решения систем линейных уравнений – метод Гаусса. Рассмотрим его на простейшем примере, решая систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Мы хотим исключить х1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого мы должны вычесть из второго уравнения первое, умноженное на 4, а к третьему прибавить первое, умноженное на 5.

На втором шаге исключения мы не трогаем первое уравнение. Другие два уравнения содержат два неизвестных х2 и х3 и к ним можно применить ту же процедуру исключения. Для этого к третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на 3.

Далее наши действия очевидны. Из третьего уравнения х3=-1, подставляя это значение во второе уравнение, получаем х2=-3 и наконец, из первого уравнения получаем х1=2. Этот простой процесс называется простой подстановкой. Таким образом, процесс решения системы линейных алгебраических уравнений по методу Гаусса состоит из двух этапов.

Первый этап (прямой ход метода) – система приводится к треугольному виду.

Второй этап (обратный ход) – неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего неизвестного и кончая первым.

Аналогично, эту идею последовательного исключения можно применить и в случае матрицы А(mxm) размера больше 3х3.

Без ограничения общности можно считать, что в нашей системе ведущий элемент a110 первого шага (иначе просто переставим уравнение). На первом шаге мы просто исключим х1 из всех уравнений, начиная со второго, для чего из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на а2111, из третьего почленно вычтем первое, помноженное на а3111 и т.д.. Тогда система заменится эквивалентной системой:

<>

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, определяются формулами:

Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a110

На втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а22(1) (если a22(1)0)

Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.

Матрица этой системы имеет вид

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается. Второй этап – обратный ход, заключается в решении треугольной системы. Из последнего уравнения находим xm. По найденному xm из (m-1) уравнения находим xm-1. Затем по xm-1 и xm из (m-2) уравнения находим xm-2. Процесс продолжаем, пока не найдем x1 из первого уравнения.

Если у нас число уравнений меньше числа неизвестных, то мы придем не к треугольной системе, а к ступенчатой.

так как прямой ход метода Гаусса прервется, когда уравнения закончатся, а неизвестные еще останутся. В таком случае в каждом уравнении системы перенесем все члены с неизвестными xk+1,….,xm в правую часть.

Придавая неизвестным xk+1,….,xm (называемым свободными) произвольные значения, получим треугольную систему из которой последовательно найдем все остальные неизвестные (называемые базисными). Так как произвольные значения можно придавать любыми способами, система будет иметь бесчисленное множество значений.

В решении следующего примера не будем выписывать каждую систему, а ограничимся лишь преобразованиями над матрицами:

и

Такая модификация метода называется методом Жордана-Гауcса.

 

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса

1 шаг: а) первую строку не меняем б) из второй вычитаем первую, умноженную на 2 в) третью не меняем, т.к. там неизвестное х1 и так отсутствует.

2 шаг: а) вторую строку делим на - 4 б) из третьей строки вычитаем новую вторую (поделенную на -4).

3 шаг: делим третью строку на (-7/4).

Последней матрице соответствует система.

или х3 = -2 + 10/7х4 + 3/7х5

х2 = -7/4х3 + 1/2х4 + 7/4х5 + 5/2 = -7/4(-2 + 10/7х4 + 3/7х5) + 1/2х4 + 7/4х5 + 5/2 = 7/2 – 5/2х4 – 3/4х5 + 1/2х4 +7/4х5 + 5/2 = 6 – 2х4 + х5

х1 = 7 – 2х2 – 4х3 + х4 + 3х5 = 7-2(6 – 2х4 + х5) – 4(-2 + 10/7х4 + 3/7х5) + х4 +3х5 = 7 – 12 + 4х4 – 2х5 + 8 – 40/7х4 – 12/7х5 + х4 + 3х5 = 3 – 5/7х4 – 5/7х5

Придавая х4 и х5 произвольные значения, например, х45 = 0, получаем решение системы, х1 =3, х2 =6, х3 =-2, х4 =0, х5 =0.

В случае треугольной системы из последнего уравнения находим хn = bn, затем хn-1 и так далее, то есть система является совместной и определенной. Если же мы получим ступенчатую систему, то часть неизвестных будут свободными и мы будем придавать им произвольные значения. Такая система является совместной и неопределенной. Итак, ответ на вопрос о совместности системы может быть дан лишь в конце вычислений, либо этот ответ может дать теорема Кронекера - Капелли. Для того, чтобы система линейных уравнений были совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу ее расширенной матрицы, то есть

Замечание. Если ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны числунеизвестных,r(А)=r(В)=n, то исходная система имеет единственное решение. Если же r(A)=r(B)<n , то система имеет бесчисленное множество решений.

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.