Интегральное исчисление курс лекций Интегральное исчисление  

 

Геометрические и физические приложения кратных интегралов. 

  Вычисление площади кривой поверхности.

Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:

 

Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = j(x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

 

5)Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.

Пусть площадь плоской фигуры (область D) ограничена линией, уравнение которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам:

- относительно оси Ох:

- относительно оси Оу:

- относительно начала координат:  - этот момент инерции называют еще полярным моментом инерции.

  6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.

Координаты центра тяжести находятся по формулам:

 

здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydxмасса элемента площади)

  7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.

Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:

при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 – постоянные.

  8) Координаты центра тяжести тела.

 

 

  9) Моменты инерции тела относительно осей координат.

 

  10) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.

 

  11) Момент инерции тела относительно начала координат.

 

  В приведенных выше формулах п.п. 8 – 11 r – область вычисления интеграла по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема

-         в декартовых координатах: dv = dxdydz;

-         в циллиндрических координатах: dv = rdzdjdq;

-         в сферических координатах: dv = r2sinjdrdjdq.

12) Вычисление массы неоднородного тела.

 

Теперь плотность w – величина переменная.

 

ОСНОВНЫЕ ИДЕИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ, ПРЕДЕЛЫ, БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ, БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ

Функции, функции числового аргумента, обратные функции, сложные функции, ограниченные функции

Пределы, пределы слева, пределы справа

Аналогично, геометрический смысл предела слева ясен из рисунка. Отличие от предыдущего случая состоит в том, что значения аргумента берутся из d - окрестности х0 только слева от этой точки L.

Или для предела справа – значение аргумента берутся из d - окрестности точки х0 только справа от этой точки.

Пределы и называются односторонними пределами.

Если оба односторонних предела в точке х0 существуют и равны между собой, то говорят, что функция имеет двухсторонний предел при или просто имеет предел при х стремящимся к х0.

Покажем теперь, что если функция имеет предел, то он единственный. Это легко установить геометрически. Допустим противное: что существует два предела L1 и L2.

 

Пусть окрестность точки х0 (т.е. точки окрестности без х0).

Тогда предел

Бесконечно малые функции и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:

1) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.

2) Произведение любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.

3) Произведение бесконечно малой в некоторой точке функции на функцию ограниченную есть функция, бесконечно малая в той же точке.

Бесконечно малые в некоторой точке х0 функции a (x) и b (x) называются бесконечно малыми одного порядка,

Основные элементарные функции. Пределы элементарных функций. Свойства пределов

К основным элементарным функциям относятся:

1) степенная функция y=xn

2) показательная функция y=ax

3) логарифмическая функция y=logax

4) тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x

5) обратные тригонометрические функции y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.

Предел элементарной функции в точке ее определения равен частному значению функции в этой точке

Это свойство функций и называется непрерывностью в точке х0.

Функции, полученные из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа композиций, называются элементарными.

При вычислении пределов функций обычно пользуются следующими основными теоремами о пределах:

1. , где С-константа 2. Константа выносится из-под знака предела.

Если пределы существуют и конечны, то

3. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов.

4. и если , то

5.

Предел произведения равен произведению пределов. Предел частного равен частному пределов.

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям.

Например, зная лишь, что

Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

  1. сокращение на множитель, создающий неопределенность

  2. деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при )

  3. применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших
  4. использование двух замечательных пределов:

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел,

А также следующие свойства (*)

Рассмотрим конкретные примеры пределов:

1. Найдем

Воспользуемся свойством предела суммы:

Воспользуемся свойствами о пределе константы и выносе константы за знак предела:

Так как под знаком предела у нас находятся основные элементарные функции, подставляем вместо х его предельное значение 1 и получаем: Z1=3+2+5=10

2.Найдем

Под знаком предела стоит композиция основных элементарных функций – элементарная функция. Подставляем вместо х его предельное значение равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе бесконечно малую функцию.

3. Найдем

4. Найдем

Подстановка предельного значения в знаменатель дает предел, равный нулю. Следовательно мы имеем отношение константы к бесконечно малой (соотношения *) { c/0}

5. Найдем

Подстановка предельного значения приводит к неопределенности. Затем делим на старшую степень х~х2.

6. Найдем

Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности типа . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на х4.

поскольку при функции являются бесконечно малыми.

7. Рассмотрим неопределенность вида

При раскрытии неопределенности этого вида достаточно домножить и разделить выражение под знаком предела на сопряженное ему выражение

8. Неопределенность вида {0/0}.

При подстановке предельного значения получается неопределенность вида {0/0}. Это вызвано тем, что и многочлен в числителе и многочлен в знаменателе имеют –1 своим корнем. Следовательно, надо сократить дробь на критический множитель х+1 выделив его предварительно:

подставляем предельное значение и пользуясь свойствами пределов, получаем:

9. Найдем

Имеем неопределенность вида {0/0} в тригонометрическом выражении. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела, но в первом замечательном пределе знаменатель дроби и аргумент синуса должны совпадать. Следовательно, домножим и разделим на 5х, чтобы получить

10. Найдем

Z10 содержит неопределенность {0/0} в тригонометрическом выражении. Попытаемся обратиться к первому замечательному пределу. Для этого надо числитель заменить выражением, содержащим синус по известной школьной тригонометрической формуле cos двойного угла:

11. Найдем

Здесь неопределенность {0/0}, к которой приводит предел выражения, содержащего обратные тригонометрические функции. Сделаем замену переменных. Возьмем за новую переменную arcsin(x-1), тогда мы получим выражение подобное первому замечательному пределу: (y=arcsin(x-1)).

12. Найдем .

Здесь имеет место неопределенность типа

При раскрытии неопределенностей такого вида пользуются вторым замечательным пределом.

Обратимся теперь подробнее к вопросу о непрерывности функций.

 

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩИЕ РАЗРЫВЫ

Непрерывность функции, разрывы

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Е и х0 – предельная точка множества Е.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если

1. Она определена в точке х0

2. Существует конечный предел

3. Этот предел равен значению функции в точке х0.

Иначе говоря, функция у=f(x) называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

Разрывность функции

Итак, если хотя бы одно из трех условий непрерывности не выполняется, функция называется разрывной в точке х0, а сама точка x0-точкой разрыва. Если в точке x0 оба односторонних предела существуют и конечны, то разрыв называется разрывом первого рода. Пусть х0-точка разрыва первого рода, т.е.

Возможны два случая

1. f(x0+0)=f(x0-0)=L, но либо функция f(x) не определена в точке х0, либо f(x0) # L (то есть не выполнено либо первое либо третье условие непрерывности). В этом случае разрыв называется устранимым, так как если доопределить функцию в точке х0 или переопределить ее, положив f(x0)=L, функция f(x) станет непрерывной в точке х0.

оба односторонних предела существуют, конечны и равны.

2. f(x0- 0) № f(x0+0) B этом случае разрыв называется неустранимым.

Если же хотя бы один из односторонних пределов f(x0+0) или f(x0-0) не существует или бесконечен, то разрыв называется разрывом второго рода. Разрыв второго рода всегда неустранимый.

Если в точке х0 функции f(x) и g(x) непрерывны, то в этой же точке непрерывными являются и функции

Свойство нерерывности сложной функции

Если функция u=g(x) непрерывна в точке х0 и функция y=f(u) непрерывна в точке u0=g(x0), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке х0.

Основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Таким образом, всякая элементарная функция, т.е. функция, составленная из основных элементарных, с помощью конечного числа алгебраических действий и композиций, является непрерывной во всех точках своей области определения.

Функция непрерывна на отрезке, если она непрерывна во всех точках отрезка.

Рассмотрим на примере, исследуем функцию:

на непрерывность, найдем точки разрыва и их тип. Построим схематический график функции. Данная функция определена на всей числовой оси.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

Далее займемся исследованием функций, применяя полученные знания.

Если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)<f(х0) или f(x) > f(х0), то точка х0 называется точкой экстремума функции f(x) (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если х0 – экстремальная точка функции f(x), то первая производная f’(х0) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: х0 является экстремальной точкой функции f(x), если ее первая производная f’(x) меняет знак при переходе через точку х0: с плюса на минус – при максимуме, с минуса на плюс – при минимуме.

Точка х0 называется точкой перегиба кривой y=f(х),если при переходе через точку х0 меняется направление выпуклости. Необходимое условие точки перегиба: если х0 – точка перегиба кривой y=f(х), то вторая производная f’’(х0) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: х0 является точкой перегиба кривой y=f(х), если при переходе через точку х0 вторая производная f’’(х) меняет знак.

Прямая yас=kх+b называется наклонной асимптотой кривой y=f(х), если расстояние от точки (x; f(х)) кривой до этой прямой стремится к нулю при х® Ґ . При этом

При k=0 имеем горизонтальную асимптоту:y=b.

Если

то прямая х=а называется вертикальной асимптотой.

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на симметричность и периодичность;

3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;

4) выяснить существование асимптот;

5) определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями;

6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

П. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти решение уравнений y’(х)=0 и y’(х)=Ґ ;

2) точки, “подозрительные” на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

3) вычислить значения функции в точках экстремума;

4) найти интервалы монотонности функции;

5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

Ш. Исследование графика функции по второй производной:

1) найти решения уравнений y”(х)=0 и y”(х)=Ґ ;

2) точки, “подозрительные” на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия;

3) вычислить значения функции в точках перегиба;

4) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

5) нанести на эскиз графика точки перегиба;

6) окончательно построить график функции.

Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.

Рассмотрим на примерах

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Находим первую производную: . Из уравнений y’=0 и y’=Ґ получаем точки, “подозрительные” на экстремум: . Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака y’

В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной y’ в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции.

Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке х=-3: y(-3)=27/4. Точки х=-1 и х=0 не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак.

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Точка х=-1 является точкой разрыва функции. Так как , то прямая х=-1 служит вертикальной асимптотой графика функции.

Ищем наклонные асимптоты ,

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Пример 3. Построить график функции , используя общую схему исследования функции.

Решение. 1. Область определения: (-Ґ , -1), (-1, +Ґ ). Функция не является симметричной и периодической. Находим предельные значения функции:

График функции имеет одну вертикальную асимптоту х=-1 и одну наклонную асимптоту y=-x+2 (см. пример 2). Он пересекает координатные оси в точке (0; 0).

П. Функция имеет один минимум при х=-3 (см. пример1).

Ш. Вторая производная обращается в бесконечность при х=-1 и равна нулю в точке х=0, которая является единственной точкой перегиба

З Учитывая полученные результаты, строим график функции .

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИХ ГРАФИК, НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Рассмотрим два множества. Пусть множество D есть подмножество множества R2={(х,y)} на плоскости, т.е. DМ R2, а множество Z есть подмножество множества R на прямой, т.е.ZМ R.

Соотношение между множеством D и множеством Z, при котором каждому элементу (х,y) множества D соответствует один и только один элемент z множества Z, называется функцией двух переменных.

Множество D называется областью определения функции и обозначается D(z).

Для функции двух переменных вводится обозначение

z=f(х;y), (х;y) О D(z).

Приведем примеры функций двух переменных, заданных аналитически.

Пример 1. z = -2x+3y+6, D(z)=R2.

Здесь каждой паре действительных чисел (x0, y0) соответствует одно и только одно действительное число

z0 = -2x0,+ 3y0+6.

Например, z(0;0) = 2· 0 - 3· 0 + 6 =6; z(-1; 2) = -2(-1) + 3· 2 +6 = 14;

z(4,1) = -2· 4 + 3· 1 + 6 = 1 и т.д.

Пример 2. z = x2 + y2, D(z) = R2.

Очевидно, z(0; 0) = 0; z(-2; 3) = 13, z(1; 4) = 17 и т.д.

Множество значений z, каждый элемент которого соответствует определенной точке (х; y)О D(z), называется областью значений этой функции. Область значений функции z=f(х;y) принято обозначать Е(z). Так, в примере 1 Е(z)=R, а в примере 2 E(z)=[0;+Ґ ].

Функция считается заданной, если указаны множества D(z)М R2, E(z)М R и соответствие f. Причем соответствие f может быть задано, как и в случае функций одной переменной, различными способами (аналитически, таблично, графически, описанием и т.д.).

Геометрическим изображением функции двух переменных z=f(x; y) будет служить некоторая поверхность, которая может быть названа графиком этой функции (рис.).

Пусть в пространстве выбрана прямоугольная система координат OXYZ. Рассмотрим функцию z=f(x; y), определенную в области D(z). Как и ранее, область определения изображается некоторым множеством точек плоскости XOY. Каждой точке М00; y0)О D(z) ставится в соответствие точка пространства Р(х0; y0; z0), аппликата которой равна значению функции в точке М0:

z0 = f(x0; y0).

Множество всех таких точек пространства представляет собой некоторую поверхность, которую примем за график функции z = f(x; y). Так, например, графическим изображением функции z = -2х + 3y + 6 примера 1 служит плоскость, проходящая через точки А(0;0; 6), В(+3; 0; 0), С (0; -2; 0).

Чтобы выяснить, что представляет собой график функции , можно обе части этого выражения предварительно возвести в квадрат и затем привести к виду x2 + y2 + z2 = 9. Если x2 + y2=9 уравнение окружности, то очевидно наше уравнение – это уравнение поверхности шара. Рассматриваемая функция представляет, очевидно, только верхнюю половину поверхности шара.

Понятие предела функции двух переменных аналогично понятию предела функцииодной переменной, за исключением того, что d -окрестностью на плоскости будет не интервал, а круг радиуса d .

Число А называется пределом функции f(x;y) при х® х0, y® y0, если для любого e >0 найдется такое d e >0, что для всех точек Х(х;y), таких, что

, выполняется неравенство

Заметим, что сформулированное выше определение предела функции двух аргументов в логическом отношении совпадает с определением предела функции одного аргумента. Следует ожидать, что все теоремы о пределах, изученные нами для случая функции одной переменной, переносятся на функции двух переменных. Здесь будут справедливыми теоремы о пределе суммы, произведения, частного и целый ряд других теорем теории пределов. Поэтому при вычислении пределов функций двух аргументов можно широко пользоваться этими теоремами.

Например:

Пример 1. Вычислить

Решение. Применив теоремы о пределах, получим

Пример 2. Вычислить .

Решение. Воспользовавшись теоремами о пределах, получим

.

Так же, как и для функции одного переменного.

Функция f(x; y) называется непрерывной в точке (х0; y0), если предел f(x; y) при х® х0, y® y0 существует и совпадает с f(х0; y0), т.е.

или

Функция f(x;y) называется непрерывной в точке (x0;y0), если ее приращение в этой точке стремится к нулю, когда приращения независимых переменных стремятся также к нулю .

Как и в случае функции одной переменной здесь можно говорить о трех условиях непрерывности. Действительно, если предположить, что f(x; y) непрерывна в точке (x0; y0), то должны одновременно выполняться следующие условия:

I) f(x; y) определена в точке (x0; y0), т.е. f(x0; y0) существует;

2) существует;

3) .

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, функция не будет непрерывной в точке. Говорят, что функция будет разрывной в точке, или функция терпит разрыв в точке.

Функция, непрерывная в каждой точке области D называется непрерывной в области D.

Для функции двух переменных точки разрыва могут обладать разнообразными особенностями. Множество точек разрыва может, в частности, состоять из точек некоторой линии. Такие линии называются линиями разрыва. Так, функция будет иметь линией разрыва прямую х=y.

Заметим, что график непрерывной функции представляет собой поверхность без разрывов и дырок, даже точечных.

В заключение отметим, что все теоремы, устанавливающие свойства непрерывных функций одной переменной остаются справедливыми и при переходе к функциям двух аргументов.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Мы видели, что понятие производной функции оказалось очень полезным для исследования функций одной переменной. Но как применить это понятие для функции двух переменных. Можно считать одну переменную постоянной и взять производную по другой – так мы получим частные производные.

Пусть функция z=f(x; y) определена в открытой области D и точка (x0; y0)О D.

Дадим значению х0 приращение D х, сохраняя значение второго аргумента неизменным и равным y0. Тогда функция f получит приращение

, которое, естественно, назвать ее частным приращением по переменной х или частным приращением в направлении оси ОХ.

Частной производной первого порядка функции f по переменной х в точке (х0; y0) называется предел отношения частного приращения D хz функции f в точке (х0; y0) к приращению D х, когда D х® 0.

Частная производственная функции z=f(х; y) в точке (х0; y0) по переменной х обозначается чаще всего следующим образом:

Итак,

Аналогично определяется частная производная (первого порядка) функции f по переменной y в точке (х0; y0):

Из определения следует, что частная производная функции z=f(х; y) по х есть обыкновенная производная функции z=f(х; y0), рассматриваемая как функция одной переменной х при постоянном значении другой переменной y. Чтобы найти f’x(x0; y0), надо взять производную от f(x; y) по х, считая y постоянным, и затем, в полученном результате, заменить х на х0, а y – на y0.

Пример 1. Найти f’x(3;-2), если

Решение. Пользуемся правилами вычисления обычных производных, считая х переменной, а у постоянным:

Аналогично следует поступать при вычислении частной производной функции z=f(x;y) по y. Только теперь при нахождении f’y(x0;y0) надо брать производную от f(x;y) по y, считая х постоянным.

Пример 2. Найти f’y(-3; -2) функции предыдущего примера.

Решение. Фиксируя х, получим

Таким образом, приходим к следующему правилу вычисления частных производных.

Чтобы вычислить частную производную от функции z=zf(х;y) по одному из ее аргументов, нужно вычислить производную от функции f по этому аргументу, считая другой аргумент постоянным.

Заметим, что если частные производные функции z=f(x;y) существуют в точке (х0;y0), то они представляют собой вполне определенные конечные числа, которые мы обозначили f’x(x0;y0) и f’y(x0;y0). Но может оказаться, что функция f, определенная в области D, имеет в каждой точке этой области частные производные. Тогда f’x и f’y есть функции, определенные в области D. В этом случае функции f’x(x;y) и f’y(x;y), определенные в области D, называют частными производными функциями.

Пример 3. Найти функции z=yx.

Решение. Найдем сначала частную производную функцию по х. При дифференцировании по переменной х данная функция z является показательной (здесь основание степени y постоянно).

Тогда получим

При дифференцировании по переменной y функция z является степенной (здесь показатель степени х постоянен). Будем иметь:

Пусть в области D функция z=f(x;y) имеет частные производные . Естественно поставить вопрос об определении частных производных по x и y от этих функций в точке (x0; y0)О D. Так мы придем к понятию частных производных второго порядка от функции z=f(x; y) в точке (x0,y0). Таким образом, каждая из производных функций порождает две производные второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

Возможны и другие обозначения частных производных второго порядка. Например,

Частные производные, взятые по различным переменным, называются смешанными.

Пример. Найдем частные производные второго порядка от функции

в точке (-1; 2).

Решение. Найти сначала частные производные функции первого порядка:

Дифференцируя каждую из полученных функций вторично и подставляя после этого вместо x значение –1, а вместо y значение 2, окончательно будем иметь:

Сравните между собой значения смешанных производных . Они совпадают. Это обстоятельство не является случайным. Частные производные, вычисленные по различным переменным и отличающиеся друг от друга лишь последовательностью производных дифференцирований, для широкого класса функций будут равны между собой.

ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

Наряду с существованием функций двух переменных, существует функции трех переменных u(x, y, z). Пределы и непрерывность для нее определяется аналогично функции двух переменных.

Аналогично можно подсчитать и частные производные для функции трех переменных

Обратим внимание на отличие в написании производных . Возьмем теперь вектор, проекциями которого на оси координат будут служить значения частных производных в выбранной точке Р(x, y, z).

Назовем этот вектор градиентом функции u(x, y, z) и будем обозначать его символами gradu и .

Градиентом функции u(x, y, z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

Проекции градиента зависят от выбора точки Р(x, y,z) и изменяются с изменением координат этой точки. Направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции.

Поверхностью уровня для функции трех переменных u(x, y, z) называется поверхность, заданная уравнением u(x, y, z)=u0, где u0=u(x0, y0, z0).

Справедлива Теорема:

Градиент функции u(x, y, z) в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Например: Пусть - расстояние от точки до начала координат. Тогда

То есть градиент r направлен по радиус-вектору и модуль его равен единице.

В случае функции двух переменных u=u(x, y) градиент лежит в плоскости Оxy и перпендикулярен к линии уровня (u(x, y)=с).

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

Методические основы курса

Область математической науки, изучающая вопросы выбора (принятия) решений по организации и управлению целенаправленными процессами (операциями) называется исследованием операций. Характерной существенной особенностью исследования операций является стремление найти наиболее эффективное (оптимальное) решение задачи принятия решений.

Под принятием решений в исследовании операций понимают процесс, в котором можно выделить следующие этапы.

Реализация найденного решения на практике завершает исследование, полученное предварительно математическое решение облекают в соответствующую содержательную форму и представляют заказчику в виде инструкций и рекомендаций.

Математическое содержание дисциплины “Исследование операций и методы оптимизации” включает в себя второй и третий этапы операционного исследования.

Таким образом, содержанием данной дисциплины является анализ и решение математических задач о выборе такого элемента в заданном множестве допустимых решений, который удовлетворяет тем или иным критериям оптимальности и который называется оптимальным решением задачи.

Теоретически возможны задачи с любыми множествами допустимых решений Х и произвольными критериями оптимальности. Если при решении задачи критерий оптимальности состоит в требовании минимизировать (или максимизировать) значения некоторой числовой функции на множестве Х, то говорят о задаче математического программирования (термин “математическое программирование” не следует смешивать с программированием на ЭВМ).

Общая задача математического программирования может быть сформулирована следующим образом.

Дана система неравенств и уравнений с n переменными х1, х2, …,хn:

и функция Z=f(х1, х2, …хn) в области G решений системы (1.1) - (1.3) требуется найти такое решение, при котором функция Z принимает наименьшее (наибольшее) значение, т.е.

f(х1, х2, …хn)>min (max). (1.4.)

Функция Z называется целевой функцией, а условия (1.1. – 1.3.) – ограничителями.

Если функции gi и f являются линейными, то общая задача математического программирования относится к разделу линейного программирования; если хотя бы одна из функций gi f нелинейна – задача относится к нелинейному программированию.

В ряде случаев в формулировку общей задачи математического программирования включают некоторые дополнительные требования. Например, требование целочисленности значений переменных приводит к целочисленному программированию.

Если задача математического программирования допускает разбиение процесса ее решения на отдельные этапы (шаги), то задача относится к теории игр.

Математический аппарат, предназначенный для решения задач исследования операций, принято называть математическими методами исследования операций. По своему характеру математические методы исследования операций. По своему характеру математические методы исследования операций в принципе не отличаются от математических методов любой другой математической дисциплины. Однако разработанность математических методов для различных задач исследования операций и их классов неодинакова. Наиболее разработанными являются теории линейного и частного случая нелинейного, – выпуклого программирования.

Задачи исследования операций обладают некоторыми специфическими чертами, которые определяют методику их составления и решения. Во – первых, задачи исследования операций в большинстве случаев не поддаются аналитическому решению (т.е. решение нельзя представить в виде аналитического выражения, зависящего от соответствующих параметров) и должны решаться численно. Во – вторых, численное решение большинства практически интересных задач возможно лишь с использованием ЭВМ, так как их формулировка содержит большое количество числового материала, не сводящегося к аналитическим выражениям.

В – третьих, процесс решения многих задач исследования операций заключается в выполнении простых однотипных операций над числами, составляющими большие массивы. Поэтому задачи исследования операций предъявляют к ЭВМ требования, касающиеся в большей степени их памяти, чем быстродействия, что оказывает значительное влияние на направление развития ЭВМ и формирование их парка.

Типичными задачами, решаемыми в исследовании операций, являются:

1. Управление запасами.

2. Распределение ресурсов.

3. Ремонт и замена оборудования.

4. Массовое обслуживание.

5. Упорядочение.

6. Сетевое планирование и управление.

7. Выбор маршрута.

8. Комбинированные задачи.

Линейное программирование

Основная задача линейного программирования

Если в (1.1), (1.2), (1.4.) все функции gi , f линейные, то общая задача математического программирования является общей задачей линейного программирования. Обычно, в задачах линейного программирования ограничения записывают только ввиде неравенств или только ввиде уравнений, т.е.

ai1x1+ai2x2+…ain xn = bi, i=1, 2,…m, (2.1.)

либо

ai1x1+ai2x2+…ain xn = bi, i=1, 2,…m, (2.2.)

Условия же

хj0, j=1, 2, …n; (2.3.)

Z=f(х1, х2, …хn)=с1х1 + с2х2+…сnxn®min (max) (2.3.)

Остаются в любых случаях неизменными.

Задачу (2.2), (2.3.),

Z=c1x1 + c2x2 + cnxn®min (2.4)

Называют также основной (или стандартной) задачей линейного программирования (в [1] эти термины не употребляются).

При графическом методе решения задачи линейного программирования удобна ее формулировка в виде (2.1). (2.3.), (2.4.), для симплексного метода – основная форма, т.е. (2.2.),(2.3.), (2.4.).

В линейном программировании допускаются следующие важные факты:

  1. Множество всех допустимых решений задачи линейного программирования является выпуклым множеством, называемым многогранником решений (планов).

  2. Линейная функция (2.4) достигает своего минимального значения в угловой точке (вершине) многогранника решений.

Наиболее известны алгоритмы следующих методов:

  1. Симплекс метод (метод последовательного улучшения плана).

  2. Модифицированный симплекс метод (вычислительная схема, связанная с преобразованием обратной матрицы, или второй алгоритм метода последовательного улучшения плана).

Математические методы в экономике

Задача использования сырья

Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида сырья S1, S2, S3. На каждую единицу продукции вида Р1 и Р2 идет определенное количество единиц каждого вида сырья (запас сырья каждого вида ограничен) и есть определенная прибыль от производства единицы каждого вида продукции.

Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы проПрибыль от единицы продукции

Конечная цель решения задачи оптимизации выпуска продукции, – получение максимальной прибыли от реализации продукции.

Пусть мы выпускаем х1 – единиц продукции вида Р1 и х2 единиц продукции вида Р2 . Тогда затраты сырья: 1-го вида будут 2х1 + 5х2
2-го вида –8х1 + 5х2 3-го вида 5х1 2. Очевидно, что затраты не могут превышать запасы и мы имеем ограничения вида затраты запасам, или

1+5х220, 8х1+5х240, 5х1+6х250, (1)

Реализация х1 единиц вида Р1 даст 50 х1 руб., х2 единиц продукции вида Р2 дает 40 х2 руб., общая прибыль Z=50x1+40 x2. Таким образом, мы сформулировали задачу: найти такие неотрицательные целые числа х1 их2, которые удовлетворяют системе ограничений (1) и дают функции z максимальное значение, т.е. найти максимум функции Z=50x1+40 x2 при ограничениях на неизвестные величины х1 и х2

(3)

Функции Z=50x1+40 x2. называется функцией цели и совместно с системой ограничений (3) называется математической моделью задачи, рассматриваемой экономически.

Рассматриваемую задачу легко обобщить на случай n – видов продукции и m – видов сырья.

Функция цели имеет вид: Z=c1x1+…+cnxn

Система ограничений имеет вид :

,

Задача составления рациона

При откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 единиц питательного вещества S2 и не менее 12 единиц S3 Для составления рациона используют два вида корма. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и стоимость одного кг корма приведены в таблице

Питательные вещества

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу. Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина.