Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок
старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет
некоторая функция 
, которая обращает уравнение в тождество.
Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
Дифференциальное уравнение в частных производных первого
порядка от функции можно в общем виде записать как
Линейное уравнение в частных производных имеет вид:
, (1)
где Xi – некоторые заданные функции.
Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C.
Рассмотрим систему уравнений:
(2)
или
- такая система
называется нормальной.
Общее решение этой системы имеет вид:
Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим:
Каждая из функций j является интегралом системы (2).
Теорема. Если 
- интеграл системы (2), то функция 
- решение уравнения (1).
Классификация основных типов уравнений математической физики.
1) Волновое уравнение. (Уравнение колебаний струны, электроколебания, крутильные колебания вала и др.) Это простейшее уравнение гиперболического типа.
2) Уравнение теплопроводности. (Уравнение Фурье) Это простейшее уравнение параболического типа. Описывает процессы теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей.
3) Уравнение Лапласа. Это простейшее уравнение эллиптического типа. Описывает магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др.
В этих уравнениях функция u зависит от двух переменных, однако, задача может быть расширена для случая трех переменных:
1)
Волновое уравнение: 
2)
Уравнение теплопроводности: 
3)
Уравнение Лапласа: 
Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений.
Определенный интеграл.
Определение.
Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке 
задана непрерывная функция 
, принимающая на этом отрезке неотрицательные
значения : 
при 
.
Требуется определить площадь 
трапеции 
, ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми 
и 
, сверху - функцией .
 |
фигуры точками 
на 
частей 
символом 
будем обозначать длину 
-го отрезка: 
. На каждом из отрезков 
выберем произвольную точку 
, найдём 
, вычислим произведение 
(это произведение равно площади прямоугольника 
с основанием 
и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам.
Полученную сумму обозначим 
: 
.
равно площади ступенчатой
фигуры, образованной прямоугольниками , 
; на левом рисунке эта площадь заштрихована. не равна искомой площади , она только даёт некоторое приближение
к . Для того, чтобы улучшить
это приближение, будем увеличивать количество отрезков таким образом, чтобы максимальная
длина этих отрезков 
стремилась
к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при 
(слева) и при 
(справа)). При 
разница между и будет тоже стремиться к нулю, т.е.
.
11.1.2. Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке
задана функция . Разобьём отрезок
произвольным образом на частей точками ; длину -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим 
. На каждом из отрезков выберем произвольную точку и составим сумму 
.
Сумма 
называется интегральной
суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм
при 
, не зависящий ни от способа разбиения
отрезка на части ,
ни от выбора точек , то функция
называется интегрируемой по отрезку
, а этот предел называется определённым
интегралом от функции по отрезку и обозначается
.
Функция , как и в случае неопределённого интеграла, называется
подынтегральной, числа 
и 
- соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Кратко определение иногда записывают так: 
.
В этом определении предполагается, что 
. Для других случаев примем, тоже по
определению:
Если 
, то 
; если 
, то 
.
| |