Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок
старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет
некоторая функция , которая обращает уравнение в тождество.
Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
Дифференциальное уравнение в частных производных первого
порядка от функции можно в общем виде записать как
Линейное уравнение в частных производных имеет вид:
, (1)
где Xi – некоторые заданные функции.
Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C.
Рассмотрим систему уравнений:
(2)
или
- такая система
называется нормальной.
Общее решение этой системы имеет вид:
Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим:
Каждая из функций j является интегралом системы (2).
Теорема. Если
- интеграл системы (2), то функция
- решение уравнения (1).
Классификация основных типов уравнений математической физики.
1) Волновое уравнение. (Уравнение колебаний струны, электроколебания, крутильные колебания вала и др.) Это простейшее уравнение гиперболического типа.
2) Уравнение теплопроводности. (Уравнение Фурье) Это простейшее уравнение параболического типа. Описывает процессы теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей.
3) Уравнение Лапласа. Это простейшее уравнение эллиптического типа. Описывает магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др.
В этих уравнениях функция u зависит от двух переменных, однако, задача может быть расширена для случая трех переменных:
1)
Волновое уравнение:
2)
Уравнение теплопроводности:
3)
Уравнение Лапласа:
Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений.
Определенный интеграл.
Определение.
Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке
задана непрерывная функция
, принимающая на этом отрезке неотрицательные
значения :
при
.
Требуется определить площадь
трапеции
, ограниченной снизу отрезком
, слева и справа - прямыми
и
, сверху - функцией
.
![]() |
равно площади ступенчатой
фигуры, образованной прямоугольниками
,
; на левом рисунке эта площадь заштрихована.
не равна искомой площади
, она только даёт некоторое приближение
к
. Для того, чтобы улучшить
это приближение, будем увеличивать количество
отрезков таким образом, чтобы максимальная
длина этих отрезков
стремилась
к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при
(слева) и при
(справа)). При
разница между
и
будет тоже стремиться к нулю, т.е.
.
11.1.2. Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке
задана функция
. Разобьём отрезок
произвольным образом на
частей точками
; длину
-го отрезка обозначим
:
; максимальную из длин отрезков обозначим
. На каждом из отрезков
выберем произвольную точку
и составим сумму
.
Сумма называется интегральной
суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм
при
, не зависящий ни от способа разбиения
отрезка
на части
,
ни от выбора точек
, то функция
называется интегрируемой по отрезку
, а этот предел называется определённым
интегралом от функции
по отрезку
и обозначается
.
Функция , как и в случае неопределённого интеграла, называется
подынтегральной, числа
и
- соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Кратко определение иногда записывают так:
.
В этом определении предполагается, что . Для других случаев примем, тоже по
определению:
Если , то
; если
, то
.
|