Курс лекций высшей математики Оглавление

 

Дифференциальные уравнения первого порядка.

  Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

 

 Если такое соотношение преобразовать к виду  то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

 

  Преобразуем такое выражение далее:

Функцию f(x,y) представим в виде:  тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:

 

-         это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

  

Уравнения вида y’ = f(x).

  Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале

a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как . Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно определить постоянную С.

 

Уравнения с разделяющимися переменными

  Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

.

 

  Такое уравнение можно представить также в виде:

 

Перейдем к новым обозначениям

 

Получаем: 

 

 

 После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

  Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

 

 

  Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

 

 

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям

 

-         это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

 

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

 - верно

 

  Пример. Найти решение дифференциального уравнения  при условии у(2) = 1.

 

при у(2) = 1 получаем

Итого:  или  - частное решение;

 

  Проверка:  , итого

 

 - верно.

 

 

  Пример. Решить уравнение

  - общий интеграл

   - общее решение

 

  Пример. Решить уравнение

 

 

 

 Пример. Решить уравнение при условии у(1) = 0.

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям

 

 

 Если у(1) = 0, то

 

  Итого, частный интеграл: .

 

 

  Пример. Решить уравнение .

 

 

 

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Получаем общий интеграл:

 

 

 Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

 Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

 

 

  Пример. Решить уравнение .

 

 

;

Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:

 

Получаем частное решение

Раскрытие неопределённостей с помощью правила Лопиталя.

Сравнение скорости роста логарифмической, степенной и показательной

функций при .

 Ниже приводятся примеры применения правила Лопиталя для раскрытия неопределённостей. Подчеркнём, что в теоремах Лопиталя предполагается существование предела отношения производных, поэтому бессмысленно пытаться применить это правило к раскрытию, например, следующей неопределённости:

, и предела в правой части не существует. В тоже время эта неопределённость легко раскрывается элементарными методами:

.

7.6.1. Неопределённость .

.

.

Если правило Лопиталя снова приводит к неопределённости, оно может применяться неоднократно. При этом допустимы упрощения полученных выражений, сокращение общих множителей, использование известных пределов и т.д.:

 7.6.2. Неопределённость.

4.

 В следующих двух примерах мы сравним скорость роста при   логарифмической , степенной  и показательной  функций:

5. .

6. Предел  найдём вначале в случае, когда  - натуральное число. Применяя правило Лопиталя n раз, получим:

.

Пусть теперь b - произвольное вещественное число, b >0. Тогда n = E(b) £b< n+1,

 . Переходим к пределу при . Пределы отношений, стоящих слева и справа, равны нулю; по теор.4.4.6 о пределе промежуточной функции .

Вывод: при  = о(),=о() (), т.е. при  ББ функция  имеет более высокий порядок роста, чем ББ функции   и ; ББ функция  имеет более высокий порядок роста, чем ББ функция .

7.6.3. Неопределённость как и в разделе 4.5.3.2. легко свести к неопределённости  или : пусть f(x)®¥, g(x)®0 при х®а. Тогда представление даст неопределённость , представление даст неопределённость . Пример:

7.

8. .

 7.6.4. Неопределённость также можно свести к предыдущим случаям: если f(x)®¥, g(x)®¥ при х®а, то ; дробь  даёт неопределённость , если , получаем неопределённость , в других случаях неопределённость отсутствует. Можно представить  в виде , что даст неопределённость . Но, как и в разделе 4.5.3.4., цель можно достичь проще:

9.  Здесь мы применили правило Лопиталя только ко второму пределу-сомножителю.