Курс лекций высшей математики Оглавление

 

Признак Коши. (радикальный признак)

  Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

,

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд расходится.

  Следствие. Если существует предел , то при r<1 ряд сходится, а при r>1 ряд расходится.

 

  Пример. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

  Пример. Определить сходимость ряда .

Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

,

таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

 

Интегральный признак Коши.

  Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1) + j(2) + …+ j(n) + … =  и несобственный интеграл  одинаковы в смысле сходимости.

 

 

  Пример. Ряд   сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл  сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд  называется общегармоническим рядом.

 

  Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и  то интегралы  и  ведут себя одинаково в смысле сходимости.

 

Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей.

 9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов

.

Здесь и дальше мы снова будем работать только с действительной переменной , коэффициенты обоих многочленов - действительные числа, , . Рациональная функция (дробь) называется правильной, если ; если , рациональная дробь называется неправильной. Любая неправильная дробь может быть представлена в виде сумма многочлена степени  и правильной дроби: , ; нахождение целой части  и остатка  может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". В дальнейшем будем предполагать, что  - правильная дробь.

 Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. .

 9.3.2. Теорема о разложении правильной рациональной функции в сумму простых дробей. Пусть знаменатель правильной рациональной дроби представлен, согласно утверждению 6 пункта 9.2.3, в виде , . Тогда дробь  единственным (с точностью до порядка слагаемых) образом может быть представлена как суммы простых дробей следующей структуры

.

 Проиллюстрируем представление неправильной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, и разложение правильной дроби на простые на примере. Дана функция . Здесь . После деления "уголком" получим . Согласно теореме, получившаяся правильная дробь должна представляться в виде

, (*) где - неизвестные пока коэффициенты ("неопределённые коэффициенты"). Приводим сумму в правой части равенства (*) к общему знаменателю:

 

 = . Дроби в правой и левой частях этого равенства равны, так как их знаменатели совпадают, должны быть равны и числители:

Неопределённые коэффициенты находятся из этого равенства. Так, подставив в него значение , получим . Если подставить в это равенство корни трёхчлена , будут определены  и . Такой приём нахождения неопределённых коэффициентов называют способом частных значений. Другой метод заключается в том, что раскрываются скобки в правой части равенства и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях :

.

Коэффициенты при степенях  справа и слева от знака равенства:

Эту систему можно решать любым из известных способов. Воспользуемся правилом Крамера.

; ; ;

; ; ; ;

; ;

. Окончательно, функция   представляется в виде . В заключение отметим, что при решении задач целесообразно комбинировать методы частных значений и сравнения коэффициентов при степенях , т.е. исключать коэффициенты, найденные по частным значениям, из системы уравнений.