Курс лекций высшей математики Оглавление

 

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

  С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

  Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:

 Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

  Это решение можно представить степенным рядом:

 Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci.

Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

  Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты ci.

  Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде

 

  Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Отсюда получаем:

 

 ………………

Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:

Окончательно получим:  

 

Итого:

Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования. 

 

  Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.

 

 Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0  подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что

  Далее запишем дифференциальное уравнение в виде  и будем последовательно дифференцировать его по х.

 

 После подстановки полученных значений получаем:

 

Бесконечные производные. Если предел отношения  при  равен ¥ (или +¥, или -¥), то эти несобственные числа тоже называют производной, и обозначают обычным образом, например . Аналогично определяются односторонние бесконечные производные. Геометрически это означает, что график функции в соответствующей точке имеет касательную, параллельную оси Оу. Возможные сочетания бесконечных односторонних производных приведены на рис. справа.

6.7.3. Примеры несуществования и разрывов производных. Функции у = |x| и  не имеют обычной производной в нуле. Для графика функции |x| точка (0,0) является угловой; функция  (график справа) в этой точке не имеет даже односторонних производных: если х = 0, то , эта функция рассматривалась в 4.4.1. Предел функции как пример функции, не имеющей предела в нуле (пример 4). Ещё один интересный пример - функция . Её производная при  равна  и не имеет предела при . В тоже время прямое вычисление производной в точке х = 0 даёт  

 при . Таким образом, эта функция имеет нулевую производную в точке х = 0, но пределы  не существуют, т.е. производная претерпевает в точке х = 0 разрыв второго рода, так же как и предыдущая функция. 

6.8. Дифференцируемость функций. Дифференциал.

 6.8.1. Определение дифференцируемости и дифференциала. Пусть функция y = f(x) определена в точке х и некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке х. Тогда приращению Dх аргумента соответствует приращение Dу = f(x+Dх)- f(x), бесконечно малое при Dх®0. В особый класс дифференцируемых функций выделяются функции, для которых Dу с точностью до бесконечно малой высшего порядка по сравнению с Dх линейна по Dх. Более точно:

 Опр.6.2. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х, если её приращение Dу в этой точке можно представить в виде , где А - не зависящая от Dх величина, a(Dх) - БМ высшего порядка по сравнению с Dх:  при Dх®0.

В более краткой записи для дифференцируемой в точке х функции .

 Опр.6.3. Главная часть приращения Dу дифференцируемой функции, линейная относительно приращения Dх аргумента (т.е. ), называется дифференциалом функции и обозначается dy (или df(x)).

Связь между дифференцированием и дифференцируемостью даёт 

Теор.6.4. Для того, чтобы функция y = f(x) имела в точке х конечную производную

y' = f'(x), необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируемой в этой точке.

 Док-во. Необходимость. Пусть в точке х существует конечная производная y'. По теор.6.2 о приращении функции, имеющей производную, Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0. Сравнивая это выражение с определением 6.2, делаем вывод: А= у'(x), БМ a(Dх) Dх имеет более высокий порядок по сравнению с Dх, т.е. f(x) действительно дифференцируема в точке х.

 Достаточность. Пусть f(x) дифференцируема в точке х, т.е. её приращение Dу можно представить в виде , где А - не зависящая от Dх величина, a(Dх) - БМ высшего порядка по сравнению с Dх:  при Dх®0. Тогда . Следовательно, существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, т.е. $ у'(x), и у'(x)=А.

 Таким образом, для функции одной переменной существование производной и дифференцируемость - эквивалентные свойства. При этом коэффициент А всегда равен у'(x), и выражение для дифференциала приобретает вид dy = у'(x) Dх. Для независимой переменной х принимают dх= =Dх (формально это можно обосновать так: если у=х, то у'(x)=1, и dy = dх = Dх). Итак, окончательное выражение для дифференциала имеет вид .

 Важно осознать, что в этом выражении не обязательно понимать dх как бесконечно малую, dх - произвольное не зависящее от х приращение аргумента (но именно при dх®0 и dу®0, и призведение у'(x)dх = dy становится главной частью приращения функции). Так как у'(x)=tg(a) - угловой коэффициент касательной, то геометрически дифференциал dy - это приращение ординаты касательной при смещении абсциссы на dх =Dх. Значение dy может значительно отличаться от приращения функции Dу, но при достаточно малых Dх (в окрестности точки касания) они близки (участок АВ графика функции).