Курс лекций высшей математики Оглавление

 

Производная функций комплексного переменного.

  Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:

 

 Определение. Функция f(z), имеющая непрерывную производную в любой точке области D называется аналитической функцией на этой области.

 

  Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не отличаются от правил дифференцирования функций действительной переменной.

  Аналогично определяются производные основных функций таких как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д. Понятие функции нескольких переменных. Область определения, область значений, график, линии (поверхности) уровня.

  Производные гиперболических функций определяются по формулам:

 

 Вывод правил интегрирования, значений производных основных функций ничем не отличается от аналогичных операций с функциями действительного аргумента, поэтому подробно рассматривать их не будем.

 

Условия Коши – Римана.

(Бернхард Риман (1826 – 1866) – немецкий математик)

  Рассмотрим функцию комплексной переменной , определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную

 

 Стремление к нулю Dz®0 может осуществляться в следующих случаях:

 

1)

2)

 

 В первом случае:

 

 

Во втором случае:

 

 

Тогда должны выполняться равенства:

 Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.

 

  Теорема. Если функция  имеет производную в точке

z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана.

 

  Также справедлива и обратная теорема.

На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции.

 

  Теорема. Для того, чтобы функция  была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.

 

Интегрирование функций комплексной переменной.

  Пусть - непрерывная функция комплексного переменного z, определенная в некоторой области и L – кривая, лежащая в этой области.

 у

 

  В

  L

 

  Кривая L задана уравнением

  Определение. Интеграл от функции f(z) вдоль кривой L определяется следующим образом:

 

 Если учесть, что , то

 

 Теорема. (Теорема Коши) Если f(z) - аналитическая функция на некоторой области, то интеграл от f(z) по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему этой области равен нулю.

 

Интегральная формула Коши.

  Если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области с кусочно – гладкой границей L.

 

  D

 r

 

  Тогда справедлива формула Коши:

 

 

где z0 – любая точка внутри контура L, интегрирование по контуру производится в положительном направлении (против часовой стрелки).

  Эта формула также называется интегралом Коши.

 

Дифференцируемость функций.

6.1. Определение производной функции.

6.1.1. Задачи, приводящие к понятию производной.

 6.1.1.1. Вычисление скорости неравномерно движущегося тела. Пусть материальная точка неравномерно движется вдоль оси Ох. Известна зависимость пути s(t), пройденного к моменту времени t от времени, требуется найти значение скорости точки в момент t0. Если мы возьмём любое t1¹ t0 и найдём отношение  , то будет получено среднее значение  скорости на отрезке [t0, t1]. Чтобы получить мгновенное значение скорости в момент t0, мы должны устремить t1 к t0, т.е. найти предел , где Dt= t1- t0, Ds= s(t1)- s(t0).

 6.1.1.2. Нахождение углового коэффициента касательной к графику функции.

 Опр. 6.1.1.2. Касательной к графику функции y=f(x) в точке M0(x0,y0=f(x0)) называется предельное положение секущей M0M1 при M1® M0.

Угловой коэффициент секущей равен . Чтобы получить угловой коэффициент касательной, в этом выражении надо перейти к пределу при M1® M0, или, что тоже самое, при х1® х0. Следовательно, , где . Величины Dх и Dу называются, соответственно, приращением аргумента и функции. Таким образом, при решении этих совершенно разных задач, как и множества других задач науки и техники, требуется находить предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Это приводит к определению основного понятия дифференциального исчисления - понятия производной.