Курс лекций высшей математики Оглавление

 

Криволинейные интегралы второго рода.

  Пусть АВ – непрерывная кривая в пространстве XYZ (или на плоскости ХОY), а точка P(x, y, z) – произвольная функция, определенная на этой кривой. Разобьем кривую точками  на конечное число частичных дуг. И рассмотрим сумму произведений значений функции в каждой точке на длину соответствующей частичной дуги.

 ; 

 

  Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.

 

 Криволинейный интеграл второго рода, т.е. интеграл по координатам отличается от криволинейного интеграла первого рода, т.е. по длине дуги тем, что значение функции при составлении интегральной суммы умножается не на длину частичной дуги, а на ее проекцию на соответствующюю ось. (В рассмотренном выше случае – на ось ОХ).

  Вообще говоря, криволинейные интегралы могут считаться также и по переменным у и z.

 

 Сумму криволинейных интегралов также называют криволинейным интегралом второго рода.

 

Свойства криволинейного интеграла второго рода.

  1) Криволинейный интеграл при перемене направления кривой меняет знак.

 

 2) 

 

  3)

 

  4)

 

  5) Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.

 Направление обхода контура L задается дополнительно. Если L – замкнутая кривая без точек самопересечения, то направление обхода контура против часовой стрелки называется положительным.

6) Если АВ – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, то

Аналогичные соотношения справедливы при интегрировании по переменным у и z.

 

  Теорема. Если кривая АВ – кусочно- гладкая, а функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и

R(x, y, z) – непрерывны на кривой АВ, то криволинейные интегралы

существуют.

 

  Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится путем преобразования их к определенным интегралам по формулам:

 

 

В случае, если АВ – плоская кривая, заданная уравнением y = f(x), то

 

 

 Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами . Направление обхода контура положительное.

 

 Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и

 

 

 

Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится (т.е. имеет предел).

Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится.

 Док-во. Докажем утверждение 4.3.2.4. (4.3.2.5 доказывается аналогично). Так как множество чисел  ограничено сверху, оно имеет точную верхнюю грань . По свойствам точной верхней грани 1. an a; 2. для "e>0 существует элемент множества aN такой, что aN>a-e. Если n> N, то a-e< aN an(вследствие монотонного возрастания) a<a+e. Итак, для "e>0 мы нашли такое N, что при n> N имеет место a-e<an<a+e, т.е. доказали, что $.

 Приведём без доказательства ещё один факт, касающийся ограниченных последовательностей:

 4.3.2.6. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Опр. 4.3.3. Последовательность называется фундаментальной, если она удовлетворяет следующему условию: для "e>0 существует число N такое, что для любых n1, n2> N выполняется неравенство | an1 - an2 |<e.

 4.3.2.7. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

 Док-во. Необходимость. Пусть последовательность сходится, и её предел равен a. Возьмём "e>0. $N: n> N Þ| a-an |<. Возьмём любые n1, n2> N. Тогда и | a-an1 |<, и

| a-an2 |<. Оценим | an1-an2 |: | an1-an2 |=| an1-a+a-an2 |=| (an1-a)-(a n2-a) |  |an1-a | +

+ |a n2-a |<+=e Þ последовательность  фундаментальна.

 Достаточность строго доказывать не будем, приведём идею доказательства. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена (доказывается аналогично свойству 4.3.2.3), следовательно из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу a. Далее показывается, что это число будет пределом всей последовательности .

 

 Далее будет сформулирован ряд свойств, касающихся арифметических действий с последовательностями и пределами. Эти свойства легко доказываются с применением бесконечно малых величин; мы докажем эти свойства позже, когда будем изучать пределы функций. Для функций также будет доказан ряд других свойств, справедливых и для последовательностей (теоремы о сохранении знака предела, о переходе к пределу в неравенстве и т.д.; см. пункт 4.4.4. Свойства функций, имеющих предел). Если даны последовательности ,, то символом  будем обозначать последовательность, получающуюся из  умножением всех её членов на постоянную величину С=const. Символами  будем обозначать последовательности, получающиеся из ,, соответственно, почленным сложением, умножением, делением исходных последовательностей. Тогда:

 4.3.2.8. Если последовательность  сходится, то сходится последовательность , и

(постоянный множитель можно выносить за знак предела);

 4.3.2.9. Если последовательности ,  сходятся, то сходятся и последовательности , и

 4.3.2.10.  (предел суммы последовательностей равен сумме пределов);

 4.3.2.11.  (предел произведения последовательностей равен произведению пределов);

 4.3.2.12.  (предел частного последовательностей равен частному их пределов (при условии, что предел знаменателя отличен от 0)).

4.3.3. Число е.

 Здесь мы докажем существование числа, играющего исключительную роль в природе и математике - числа е. Это число определяется как .

 Утв. 1. Последовательность  возрастает с ростом n.

Док-во. По формуле бинома Ньютона

 Эта сумма содержит ровно n+1 член. Если перейти от n к n+1, то количество слагаемых увеличится на 1 и каждое слагаемое возрастётÞ an+1>an.

 Утв. 2. Последовательность  ограничена.

Док-во. Оценим величину  сверху. Каждое слагаемое в полученной сумме оценивается величиной . Тогда вся сумма  

Итак, последовательность  возрастает и ограниченаÞона имеет предел. Этот предел и определяет число е, , зашитое во все природные явления столь же фундаментально, как и число p.