Курс лекций высшей математики Оглавление

 

Поверхностные интегралы первого рода.

 

  z

 

 

 

  DSi

 

  Поверхностный интеграл является таким же обобщением двойного интеграла, каким криволинейный интеграл является по отношению к определенному интегралу.

  Рассмотрим поверхность в пространстве, которая произвольно разбита на n частей.

  Рассмотрим произведение значения некоторой функции F в произвольной точке с координатами (a, b, g) на площадь частичного участка DSi, содержащего эту точку.

 Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения l поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.

Свойства поверхностного интеграла первого рода.

Поверхностные интегралы первого рода обладают следующими свойствами:

 

  1)  S – площадь поверхности.

 

  2)

 

  3)

 

  4) Если поверхность разделена на части S1 и S2, то

 

 5) Если  , то

 

 6)

 

  7) Теорема о среднем.

  Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то существует точка (a, b, g) такая, что

 S – площадь поверхности.

  Проведя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при нахождении криволинейного интеграла, получим формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода через двойной интеграл по по площади проекции поверхности на плоскость XOY

Предел функции одной переменной.

4.4.1. Предел функции.

 В этом разделе мы изучим основное понятие математического анализа - предел функции. Все остальные объекты, которые встречаются в анализе (производная, интеграл и т.д.) определяются с помощью предела.

4.4.1.1. Определение предела функции в точке.

 Опр.4.4.1. Пусть а - предельная точка области определения Х функции f(x). Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа e>0 существует такое число d (вообще говоря, положительное и зависящее от e), что если хÎХ принадлежит также проколотой d-окрестности  точки а, то значение функции f(x) принадлежит e-окрестности числа b.

Обозначения: ; f(x)® b при x® а; .

Краткая форма записи: .

Неравенство  расписывается в виде двустороннего неравенства как   или . Аналогично неравенство  можно расписать как . Поэтому смысл определения предела таков: , если для любой наперед заданной степени близости значений f(x) к числу b мы в состоянии найти такую близость аргумента х к числу а, которая обеспечивает эту близость f(x) к b. Заметим, что в определении никак не участвует значение f(а) функции f(x) в точке а, в частности, f(а) не обязательно должно быть равным b; более того, f(x) может быть вообще не определена в точке а.

 Рассмотрим два простых примера. Докажем, что 1. ; 2.  (дальше мы увидим, что предел любой элементарной функции при стремлении х к любой точке области определения этой функции равен значению функции в предельной точке).

Возьмём "e>0. Требуется найти такое d>0, что 0<| x-2 |<dÞ| x2-4 |<e, т.е. | (x-2)(x+2) |<e. Договоримся сразу брать d<1, тогда из | x-2 |<dÞ2-d<x<2+dÞx<3Þx+2<5. Неравенство

| (x-2)(x+2) |<e будет обеспечено, если . Таким образом, если в качестве d взять , то при | x-2 |<d(e) получим |x+2|<5Þ| (x-2)(x+2) |=| x-2 || x+2 |<*5=e, что и требовалось.

 Возьмём "e>0. Требуется найти такое d>0, что 0<| x-p/6 |<dÞ| sin x-1/2 |<e~

| sin x- sin(p/6)|<e ~<e.Так как , |sin a|<|a| при a¹0, то требуемое неравенство будет выполнено, если взять d(e)=e (Тогда из <| x-p/6 |<d=eÞ ; , что и требовалось.

Более сложный пример-функция Дирихле

В любой окрестности любого вещественного числа а имеются и рациональные, и иррациональные точки, обеспечить одновременное выполнение неравенств | b-1 |<e и | b-0 |<e при e<1/2 невозможно ни при каком значении b, следовательно, функция Дирихле не имеет предела ни при каком стремлении аргумента.

Рассмотрим ещё одно определение предела, эквивалентное предыдущему.

Опр.4.4.2. Пусть {xn | xnÎX, xn ¹a} - последовательность точек области определения функции f(x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности {xn} последовательность значений функции { f(xn)} сходится к числу b, то b называется пределом f(x) при x®а. (В МГТУ опр.3.4.1 принято называть определением Коши, опр.3.4.2 - определением Гейне).

Докажем эквивалентность определений 4.4.1 и 4.4.2.

Утв.1. Если  в смысле опр. 4.4.1, то число b - предел f(x) при x®а и в смысле опр. 4.4.2.

Док-во. Пусть {xn} сходится к а, требуется доказать, что { f(xn)} сходится к b, т.е. что для "e>0 $N: n>N Þ | f(xn)-b |<e (в предположении, что выполняются условия опр. 4.4.1). Возьмём "e>0. $d: 0<| x-a |<d Þ | f(x)-b |<e. Так как xn®а при n ®µ, то $ N: n>N Þ | xn-a |<dÞ

|f(xn)-b |<e. Нужное N найдено.

Утв.2. Если  в смысле опр. 4.4.2, то число b - предел f(x) при x®а и в смысле опр. 4.4.1.

Док-во от противного. Мы предположим, что требования опр. 4.4.1 не выполняются, и построим последовательность {xn}, сходящуюся к а, для которой { f(xn)} не сходится к b. Если требования опр. 4.4.1 не выполняются, то $e>0, для которого в любой проколотой d-окрестности точки а найдётся точка x, в которой | f(x)-b |>e. Возьмём d1=1. $ x1¹а: 0<| x1-a |<d1, но | f(x1)-b |>e. Возьмём d2<min{1/2, | x1-a |}. $ x2: 0<| x2-a |<d2, но |f(x2)-b |>e. Возьмём d3<min{1/3, | x2-a |}. $ x3: 0<| x3-a |<d3, но |f(x3)-b |>e. Вообще на n-ом шаге возьмём dn<min{1/n,

|xn-1-a |}. $ xn: 0<| xn-a |<dn, но |f(xn)-b |>e, и т.д. Мы получили, что xn®а при n®µ (так как

| xn-a |<1/ n), но | f(xn)-b|>e, т.е. { f(xn)} не сходится к b. Противоречие получено.

Рассмотрим ещё два примера.

( график этой функции приведен слева; х¹0). Докажем, что эта функция не имеет предела при х®0. В каждой точке последовательности  f(xn)=0, в каждой точке последовательности  f(xn)=1, разные последовательности дают разные пределыÞ не существует.

5. Функция Римана

Как следует из графика, приведённого на стр.17, в любой e-окрестности точки  при e< содержится не более чем конечное число значений функции, т.е. при рациональном значении аргумента х=а  не существует. Если х=а иррационально, то вне любой e-полосы |x|<e лежит не более чем конечное число точек графика, т.е. .