Курс лекций высшей математики Оглавление

 

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.

 

 у a

  b

 

  A S

 

 

  Как уже говорилось выше, линия S, которая задается функцией, являющейся каким- либо решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения

  Производная y является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой.

  В любой точке А(х, у) интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения.

Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение.

  Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений.

  С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения:

  1) Задать дифференциальное уравнение первого порядка – это значит задать поле направлений.

  2) Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – это значит найти всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений.

  Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами.

 

Численные методы решения дифференциальных уравнений.

  Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы применимы для очень ограниченного класса функций. Большинство уравнений, встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов.

  В таких случаях используются численные методы решения, которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной.

  Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата.

  Рассмотрим некоторые из них.

 

Метод Эйлера.

(Леонард Эйлер (1707 – 1783) швейцарский математик )

  Известно, что уравнение  задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается поля направлений в любой точке.

  Если взять последовательность точек х0, х1, х2, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию. 

 y

 

 M2

 M1 M3

 

 При подстановке заданных начальных условий (х0, у0) в дифференциальное уравнение получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке

  Заменив на отрезке [x0, x1] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение

  Производя аналогичную операцию для отрезка [x1, x2], получаем:

  Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера.

  Можно записать общую формулу вычислений:

 

 Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:

 

Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.

Суть метода состоит в том, что в формуле  вместо значения

 берется среднее арифметическое значений f(x0, y0) и f(x1, y1). Тогда уточненное значение:

 Затем находится значение производной в точке . Заменяя f(x0, y0) средним арифметическим значений f(x0, y0) и , находят второе уточненное значение у1.

 Затем третье:

и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М1 ломаной Эйлера.

  Аналогичная операция производится для остальных значений у.

 

Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата.

Непрерывность и разрывы монотонной функции.

 Теор.5.5.1. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

 Док-во. Рассмотрим для определённости случай монотонно возрастающей функции. Пусть х0Î[a,b] и не является левым концом этого отрезка. Рассмотрим полуинтервал [a, х0). В разделе 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности мы доказали, что монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел. Совершенно также можно доказать, что функция, монотонно возрастающая на полуинтервале [a, х0), множество значений которой ограничено на этом интервале, обязана иметь . Действительно, так как множество  ограничено сверху (одна из верхних границ - значение f(х0)), оно имеет верхнюю грань М*, обладающую тем свойством, что для "e>0 $ х1Î[a, х0), в котором f(х1)> М* - e. По монотонности функции и по определению верхней грани для "х: х1>х> х0 справедливо неравенство М* - e< f(х1)< f(х)£ М*, что означает выполнение условий существования  с d= х0- х1. При этом возможны два варианта: либо f(х0)=М*, тогда f(х) непрерывна слева в точке х0; либо f(х0)>М*, тогда f(х) имеет в точке х0 скачок, т.е. разрыв первого рода.

 Следствие: если множество значений монотонно возрастающей на отрезке [a,b] функции f(х) полностью заполняет отрезок [f (a), f( b)] (т.е. для "уÎ[f (a), f( b)] $хÎ[a,b] такой, что f(х)= у), то эта функция непрерывна, легко доказать теперь от противного. Если в точке х0 имеется скачок, то f(х) не может принимать значений, попадающих в интервал (f(х0-0), f(х0)).

 Ещё одним следствием рассмотренных в этом разделе вопросов является непрерывность обратных тригонометрических функций.

5.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

 Для теорем этого раздела существенны оба отмеченные в названии обстоятельства: и то, что функция непрерывна, и то, что она рассматривается на замкнутом множестве - отрезке. Если не выполнены эти условия, то все теоремы перестают быть справедливыми. Напомним опр.5.1.6: функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, при этом в точках a и b предполагается непрерывность, соответственно, справа и слева.

 Теор.5.6.1 об обращении функции в нуль. Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то найдётся точка сÎ[a,b], в которой функция обращается в нуль: f(с) =0, a<c<b.

 Док-во. Рассмотрим случай, когда f(а)>0, f (b)<0. Возьмём среднюю точку отрезка х1=(а+b)/2. Если f(х1)=0, то теорема доказана и с =х1; иначе на концах одного из отрезков [a, х1], [х1,b] функция опять принимает значения разных знаков (на рис. это второй отрезок), при том опять на левом конце f(х)>0, на правом - f(х) <0. Обозначим этот отрезок [a1, b1]. Снова поделим этот отрезок пополам: х2=(а1+b1)/2 и снова либо f(х2)=0, либо на концах одного из отрезков [a1, х2], [х2,b1] функция опять принимает значения разных знаков. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных отрезков [an, bn], имеющую, по аксиоме VII раздела 3.1. Аксиомы действительных чисел общую точку с. Для этой точки an£ с £ bn, bn-аn®0 при n®¥, поэтому . В каждой точки аn справедливо f(аn)>0, в каждой точки bn f(bn)<0, переходя в неравенствах f(аn)>0, f(bn)<0 к пределам при n®¥ и пользуясь непрерывностью f(х), получим: , , одновременно это может иметь место, только если : f(с) =0. Теорема доказана.

 Необходимость непрерывности: функция sgn x + 0.5 принимает на концах отрезка [-1,1] значения разных знаков, но нигде не обращается в нуль. Необходимость замкнутости множества: функция 1/x непрерывна в каждой точке множества [-1,0)È(0,1], принимает значения разных знаков в его левом и правом концах, но нигде не обращается в нуль.

Теор.5.6.2 о промежуточном значении. Если функция f(х) непрерывна на отрезке, и в двух точках a и b (a < b) принимает неравные значения A= f(а)¹B= f(b), то для любого числа С, лежащего между A и B, найдётся точка сÎ[a,b], в которой значение функции равно С: f(с) = С.

 Док-во. Пусть A>B, тогда A>С>B. Рассмотрим функцию g(х)= f(х)-C. Эта функция непрерывна на [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков: g(а)= f(а)-C=А-С>0, g(b)= f(b)-C=В-С<0. Тогда по теор.5.6.1 об обращении функции в нуль найдётся точка сÎ[a,b],  в которой функция обращается в нуль: g(с) =0Þ g(с)= f(с)-C=0Þ f(с) = C. Теорема доказана.