Теория вероятностей. Основные понятия - курс лекций

Машиностроительное черчение
Единая система конструкторской
документации
Машиностроительные построения
Инженерная графика
Сборочный чертеж
Начертательная геометрия
Геометрические основы
построения чертежа
Конспект лекций по начертательной
геометрии
История искусства
Стили в искусстве Готика
Русский балетный театр
Русское изобразительное искусство
ТКМ
Материаловедение
Основы теории сплавов
Теория конструктивных материалов
Сопромат
Сопративление метериалов
Лабораторные работы
Задачи строительной механики
Лекции физика
Физика
Электричество
Магнетизм
Оптика
Электромагнетизм
Молекулярная физика
Лекции МАИ
Лекции МАИ часть 2
Диэлектрики
Квантовая механика
Физические законы механики
Электромагнитное взаимодействия
Атомные станции
Атомная энергетика
Экология энергетики
Атомная и ядерная физика
Теплотехника
Термодинамика
Билеты к экзамену по физике
Задачи физика электротехника
Решение задач по ядерной физике
Электростатика
Геометрическая оптика
Тепловое излучение
Основы теории сплавов
Теория относительности
Физические основы механики
Законы идеальных газов
Электростатика
Основы электротехники
Постоянный ток
Электромагнетизм
Оптика
Законы теплового излучения
Ядерная физика
Строение атома и молекул
Задачи математика
Математика
1 семестр
2 семестр
3 семестр
4 семестр
Интегралы
Лекции по высшей математике
Вычисление площадей в
декартовых координатах
Аналитическая геометрия
 
Информатика
Восстановление сети после аварии
Основные понятия и категории
информатики
Сетевые операционные системы

Курс лекций - первый семестр

Отыскание точек локального экстремума функции

Как следует из теоремы 17.1, производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума этой функции равна нулю. Поэтому функция, дифференцируемая на некотором интервале, может иметь на этом интервале локальный экстремум только в тех точках, где её производная равна нулю. Такие точки, т.е. точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками возможного экстремума или стационарными точками. Однако в стационарной точке не обязательно достигается локальный экстремум функции. Например, функция  не имеет локального экстремума в стационарной точке x=0. Предположим теперь, что функция дифференцируема всюду на заданном интервале, за исключением конечного числа точек, в которых эта функция не имеет производной. В тех точках, в которых функция имеет отличную от нуля производную, эта функция, как следует из теоремы 16.1, либо возрастает, либо убывает. Поэтому в таких точках локального экстремума быть не может.

В остальных точках заданного интервала, т.е. в стационарных точках и в тех точках, где функция не имеет производной, наличие локального экстремума возможно. Так, например, функция y= не имеет производной в точке x = 0, но в этой точке функция имеет локальный минимум (рис. 4). Такие точки, а именно стационарные точки и те точки, в которых функция не имеет производной, называются критическими точками. Для того чтобы выяснить, имеется ли экстремум в критической точке, требуется дополнительное исследование. Рассмотрим достаточное условие достижения функцией локального экстремума в критической точке.

Теорема 23.1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция  дифференцируема всюду в некоторой окрестности критической точки , за исключением, быть может, самой точки , и непрерывна в точке . Тогда, если в пределах этой окрестности производная  положительна (отрицательна) слева от точки  и отрицательна (положительна) справа от точки , то функция имеет в точке  локальный максимум (минимум). Если же производная   имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке  нет.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда в пределах некоторой окрестности производная  положительна слева от точки  и отрицательна справа от точки . Выберем в пределах рассматриваемой окрестности произвольную точку , отличную от точки . Функция  дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна всюду на отрезке , за исключением, быть может, точки , и непрерывна в точке . Поэтому для функции  на отрезке  выполнены все условия теоремы Лагранжа. Следовательно, внутри отрезка  найдётся такая точка c, что .

Поскольку производная  положительна при  и отрицательна при , то в пределах рассматриваемой окрестности выражение   отрицательно. Но это означает, что в пределах данной окрестности значение  является наибольшим, то есть точка  доставляет функции  локальный максимум. Рассуждая точно также, можно доказать, что в случае, когда производная  отрицательна слева от точки  и положительна справа от неё, точка   доставляет функции   локальный минимум, а в случае, когда производная  имеет один и тот же знак слева и справа от точки ,  выражение  имеет разные знаки слева и справа от точки , что означает отсутствие экстремума в точке .

Теорема доказана.

Рассмотрим примеры нахождения локальных экстремумов с помощью производной.

Пример 23.1. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Найдём критические точки заданной функции:  при  и при . Заданная функция дифференцируема на всей действительной оси, поэтому других критических точек нет. Выясним, какой знак имеет производная  в окрестности каждой из точек  и : при  и при  , при  . Это значит, что слева от точки  производная  отрицательна, справа положительна, слева от точки  производная положительна, справа отрицательна. В каждой из этих точек функция непрерывна (так как дифференцируемость функции означает её непрерывность). Поэтому на основании теоремы 23.1 можно сделать вывод, что в точке  функция имеет минимум, , в точке  функция имеет максимум, .

Пример 23.2. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Найдём критические точки: при  , при  , при  функция производной не имеет. Таким образом, единственной критической точкой является точка . Так как слева от этой точки производная отрицательна, справа положительна, в самой же этой точке функция непрерывна, то в этой точке функция имеет минимум, при этом .

Пример 23.3. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Найдём критические точки:  при . Так как функция дифференцируема на всей действительной оси, то других критических точек нет. Производная  положительна и слева, и справа от точки , в самой этой точке функция непрерывна (в силу дифференцируемости), поэтому в этой точке функция не имеет экстремума.

В ряде случае исследование знака производной  слева и справа от критической точки оказывается затруднительным. Однако если в этой критической точке функция  имеет равную нулю первую производную (то есть эта точка является стационарной) и, кроме того, имеет отличную от нуля вторую производную, то можно указать следующее достаточное условие наличия в данной точке локального экстремума.

Теорема 23.2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция   имеет в стационарной точке c отличную от нуля вторую производную. Тогда функция  имеет в точке c максимум, если , и минимум, если .

Доказательство. Функция  является производной функции , поэтому, в соответствии с теоремой 16.1, функция   в точке c убывает при   и возрастает при . Поскольку по условию точка c является стационарной, т.е. , то убывание (возрастание) функции  в точке c означает, что найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой  положительна (отрицательна) слева от точки  c и отрицательна (положительна) справа от точки c. Но тогда по

теореме 23.1 функция  имеет в точке c максимум (минимум).

Теорема доказана.

Пример 23.4. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Функция определена для значений аргумента . Найдём критические точки:  при .

Производная непрерывна на всей области определения функции. Таким образом, единственной критической точкой является стационарная точка  . Найдём вторую производную заданной функции: .

В точке  . Так как в точке  , то на основании теоремы 23.2 можно сделать вывод, что в этой точке функция имеет минимум, при этом .

 § 24. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пусть функция  непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема всюду на этом отрезке за исключением, быть может, конечного числа точек. Пусть, кроме того, производная   отлична от нуля всюду на отрезке [a;b] за исключением, быть может, конечного числа точек. Эти предположения означают, что на отрезке [a;b] может содержаться лишь конечное число критических точек функции . Поставим задачу об отыскании максимального и минимального значений функции  на отрезке [a;b]. Поскольку функция  непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своего максимального и своего минимального значения. Каждое из этих значений может достигаться  либо во внутренней точке отрезка [a;b] (очевидно, что в таком случае оно совпадает с одним из локальных экстремумов), либо на одном из концов этого отрезка. Отсюда следует, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке [a;b] достаточно сравнить между собой значения этой функции во всех точках локального экстремума и в граничных точках отрезка (в точках a и b) и выбрать среди этих значений наибольшее и наименьшее. Для этого нужно исследовать все критические точки на наличие экстремума и для тех критических точек, которые являются точками экстремума, вычислить значение функции . Если же исследование критических точек на наличие экстремума окажется затруднительным, можно просто вычислить значения функции   во всех критических точках и в граничных точках и выбрать среди этих значений наибольшее и наименьшее. Отметим, что если функция  имеет на отрезке [a;b] лишь одну критическую точку и эта точка является точкой локального максимума (минимума), то можно сразу, не сравнивая значение функции в этой точке с её значениями на концах отрезка, сделать вывод, что это значение является наибольшим (наименьшим) значением функции   на отрезке [a;b].

Пример 24.1.Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке .

Решение. Находим критические точки функции: ,

 при , при  и при . Заданная функция дифференцируема на всей действительной оси, поэтому других критических точек нет. Находим значения функции в критических точках и на границах отрезка: . Отсюда видно, что наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 10, наименьшее значение равно .

Курс лекций - второй семестр

Курс лекций - третий семестр

Курс лекций - четвертый семестр

Теория вероятностей. Основные понятия.

Операции над событиями

Формула Бейеса. (формула гипотез)

Формула Бернулли

Распределение Пуассона

Функция распределения

Построим график функции распределения

Функция Лапласа

Характеристическая функция

Теория массового обслуживания Случайные процессы

Примеры решения задач

Цепи Маркова.

 

Задача о проведении касательной к кривой.

Пусть дана некоторая кривая и точка на ней. Рассмотрим понятие касательной к кривой в данной точке. В школьном курсе элементарной геометрии вводится понятие касательной к окружности – касательная определяется как прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Но в общем случае – когда рассматривается произвольная кривая – это определение непригодно. Возьмём в качестве примера параболу y=x2. В точке O начала координат обе координатные оси подходят под это определение, хотя интуитивному представлению о касательной в этой точке соответствует только ось x (см. рис.1). Другим примером может служить прямая y=1, которая имеет с синусоидой  бесконечно много точек касания (см. рис.2).

 Дадим общее определение касательной. Возьмём на непрерывной кривой L две точки – точку M, в которой мы хотим провести касательную к этой кривой, и точку M1. Проведём секущую MM1. Когда точка M1 будет перемещаться вдоль по кривой, приближаясь к точке M, секущая будет вращаться вокруг точки M.

Касательной к кривой L в точке M называется предельное положение MT секущей MM1, когда точка M1, двигаясь вдоль по кривой, стремится к совпадению с точкой M (см. рис.3).

Подпись:  x0            x0+∆x
 


Предположим теперь, что кривая L является графиком непрерывной функции y=f(x). Найдём угловой коэффициент касательной к кривой L в точке M , т.е. tg α, где α – угол наклона касательной к оси x. Будем считать, что ,  т.е. касательная не параллельна оси y. Пусть точка M имеет координаты (x0, y0), а точка M1 – координаты (x0+∆x, y0+∆y). Обозначим через φ угол наклона секущей MM1 к оси x. Тогда угловой коэффициент секущей

 Kсек = tg φ =

Устремим теперь ∆x к нулю. Так как функция y=f(x) непрерывна, то и ∆y→0, а, значит, и расстояние между точками M и M1  ρ(MM1)=→0.  Это значит, что точка M1 стремится к совпадению с точкой M. Предположим, что существует предел

 =k

Так как φ=arctg, то в силу непрерывности функции y=arctg(x)

 φ =( arctg) = arctg() = arctg(k)

Это значит, что при стремлении точки M1 к точке M секущая MM1 стремится занять предельное положение с углом наклона φ= arctg(k). Это предельное положение и является по определению касательной к кривой L в точке M. Итак, угол наклона касательной к оси x α = arctg(k).

Отсюда tg α=k=

Теперь мы можем определить понятие производной.