Курс лекций высшей математики Оглавление

 

Формула Бейеса. (формула гипотез)

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез  с известными вероятностями их наступления . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности . Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы  относительно события А, т.е. условные вероятности .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

Эта формула называется формулой Бейеса. Доказательство.

По Теореме умножения вероятностей получаем: Тогда если . Для нахождения вероятности P(A) используем формулу полной вероятности. Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью , то формула Бейеса принимает вид:

Определение производной.

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a;b). Рассмотрим значение аргумента   (a;b). Дадим аргументу приращение ∆x0, так чтобы выполнялось условие (x0+∆x)a;b). Обозначим соответствующие значения функции через y0 и y1: 

 y0=f(x0), y1=f(x0+∆x). При переходе от x0 к x0+∆x функция получит приращение

 ∆y = y1 - y0 = f(x0+∆x) - f(x0). Если при стремлении ∆x к нулю существует предел отношения приращения функции ∆y к вызвавшему его приращению аргумента ∆x,

т.е. существует предел 

  =  ,

то этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x0. Итак, производная функции y=f(x) в точке x= x0 есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции y=f(x) в точке x обозначается символами (x) или (x). Используются также обозначения , . В последних трёх обозначениях подчёркивается то обстоятельство, что производная берётся по переменной x.

Если функция y=f(x) имеет производную в каждой точке некоторого интервала, то на этом интервале производная (x) есть функция аргумента x.

 § 3. Механический и геометрический смысл производной.

 Уравнения нормали и касательной к графику функции.

Как было показано в § 1, мгновенная скорость точки есть

 v=.

Но это означает, что скорость v есть производная от пройденного пути S по времени t,

 v=. Таким образом, если функция y=f(x) описывает закон прямолинейного движения материальной точки, где y есть путь, пройденный материальной точкой от момента начала движения до момента времени x, то производная (x) определяет мгновенную скорость точки в момент времени x. В этом и заключается механический смысл производной.