Высшая математика Интегралы - курс лекций, задачи с решениями

Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта
  1. Первообразная и неопределённый интеграл
    • Определение первообразной и её свойства
    • Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов
    • Свойства неопределённого интеграла
    • О "неберущихся" интегралах
    • Приближённое нахождение первообразных
    • Определенный интеграл

      Интегральные суммы. Определение интеграла

       

      Определение. Точки  задают разбиение отрезка . Для краткости будем обозначать разбиение буквой .

      Обозначим .

      Определение. Наибольшее из чисел  называется диаметром разбиения T и обозначается .

      Определение. Если произвольным образом выбрать точки  , то получится разбиение T с отмеченными точками . Будкм обозначать  набор .

      Пусть функция  определена на отрезке .

      Определение. Величина  называется интегральной суммой, соответствующей разбиению T с выбранными точками .

      Определение. Пусть существует число  такое, что для любого  существует ,  такое, что для  и любого выбора точек  выполняется неравенство

      .

      Тогда функция  называется интегрируемой на , а число I называется ее интегралом по отрезку  и обозначается

      .

      Примечания.

      Это-определение интеграла Римана (Б. Риман (1826-1866)). Существуют другие определения интеграла (интеграл Лебега, интеграл Мак-Шейна, интеграл Курцвейла-Хенстока, интеграл Стилтьеса и др.). Мы будем рассматривать лишь интеграл Римана ввиду относительной простоты его определения, с одной стороны, и его достаточности для приложений, с другой стороны.

      Чисто, допуская некоторую вольность языка (в математическом смысле!) говорят, что интеграл – это предел интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиения . «Вольность» состоит в том, что у нас имеется определение предела функции одной переменной, а интегральная сумма зависит не только от , но и от самого разбиения T, и от выбора точек . Поэтому говоря в дальнейшем о пределе интегральных сумм мы имеем в виду утверждение, сформулированное в определении интеграла.

      Впрочем, этой вольности можно избежать, если рассматривать понятие предела по базе (с этим понятием можно ознакомиться в более развернутых курсах математического анализа).


Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований

Формула понижения степени

Рациональные функции и их интегрирование

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt{ax^2+bx+c}$


Определённый интеграл и его свойства

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Свойства определённого интеграла

Интеграл с переменным верхним пределом

Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами

Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов

Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга


Несобственные интегралы

Несобственные интегралы первого рода

Свойства несобственных интегралов первого рода

Несобственные интегралы второго рода

Свойства несобственных интегралов второго рода

Несобственные интегралы с несколькими особенностями

    • Необходимое условие существования интеграла

       

      Теорема. Если функция  интегрируема на отрезке , то она ограничена на .

      Доказательство. Возьмем в определении интеграла  и рассмотрим соответствующее ему . Пусть T – любое разбиение, удовлетворяющее условию . Для того, чтобы убедиться в справедливости теоремы, достаточно доказать, что при всех  функция  ограничена на отрезке , т.е. . Действительно, тогда для  имеем при , т.к. x входит в некоторый отрезок  и, значит .

      Выберем любое  и представим интегральную сумму  в виде (1).

      Зафиксируем произвольным образом числа  выбранные в соответствующих промежутках. При этом первое и третье слагаемые в равенстве (1) примут определенное фиксированное значение. Обозначим сумму этих слагаемых буквой J. Таким образом, при любом   (2).

      По условию, функция интегрируема, значит , т.е. , или . Откуда, учитывая (2), , ,  (3).

      Левая и правая части неравенств (3) представляют собой величины, не зависящие от . Поэтому неравенства (3) означают, что . Теорема доказана.


  1. Приближённое вычисление определённых интегралов

    Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

    Квадратурная формула центральных прямоугольников

    Квадратурная формула трапеций

    Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

    Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

    Квадратурные формулы более высокого порядка точности

    Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул


  2. Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям

    Площадь области, лежащей между двумя графиками

    Площадь в полярных координатах

    Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

    Вычисление длины плоской линии

    Площадь поверхности вращения


  3. Функции нескольких переменных и их дифференцирование

    Открытые и замкнутые области в $ \mathbb{R}^n$

    Связные множества

    График функции нескольких переменных

    Пределы функций нескольких переменных

    Непрерывность функции

    Ограничения функции на данное множество

    Свойства функций, непрерывных в области

    Частные производные

    Частные производные высших порядков

    Дифференцируемость функции и дифференциал

    Связь дифференциала с частными производными

    Производная сложной функции

    Инвариантность дифференциала

    Равенство смешанных частных производных

    Теорема о неявной функции

    Производные неявно заданной функции

    Выпуклые множества и функции

    Касательная плоскость к графику функции

    Приближённые вычисления с помощью дифференциала


Градиент и производная по направлению

Определение градиента и стационарных точек функции

Производная по направлению

Свойства градиента и производной по направлению


  1. Формула Тейлора для функции нескольких переменных

    Вывод формулы Тейлора

    Матрица Гессе

Суммы Дарбу и их свойства

 

При исследовании вопроса о существовании интеграла важную роль играют суммы Дарбу (Г. Дарбу (1842-1917)).

По доказанной в §2 теореме  ограничена на  и, следовательно, для любого разбиения T отрезка она ограничена на всех отрезках , (т.е. множество ее значений на этом отрезке ограничено сверху и снизу). Обозначим  - точную верхнюю грань, а  - точную нижнюю грань множества значений функции  на , .

Определение. Числа  и  называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции  для разбиения T на отрезке .

Теорема. Верхняя сумма Дарбу  представляет собой точную верхнюю грань, а нижняя сумма Дарбу  - точную нижнюю грань множества значений интегральных сумм при заданном разбиении T и всевозможных выборах точек .

Доказательство. Проведем его для верхней суммы Дарбу. Для нижней суммы рассуждения вполне аналогичны.

Во-первых, для любого  и для любой точки  имеет место неравенство  (по определению ). Значит,  (1).

Суммируя неравенства (1) по всем  получаем . Т.е.  - верхняя грань множества  по всевозможным выборам .

Осталось доказать, что  - точная верхняя грань. Для этого возьмем произвольное . Поскольку  - точная верхняя грань множества значений  на отрезке ,  существует точка  такая, что  и  (2).

Суммируя неравенства (2) по  получаем, что  , т.к.  (суммарная длина отрезков, составляющих отрезок , равна длине этого отрезка).

Итак, доказано, что для любого  можно так выбрать точки , что , что как раз и означает, что , где верхняя грань взята по всевозможным выборам точек . Теорема доказана.

Замечание. Отметим очевидность неравенства: .

Считая известным понятие площади многоугольника, отметим, что нижняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению , представляет собой площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке есть нижняя из 3 ломаных, отмечена жирной линией.

Верхняя сумма Дарбу - это площадь многоугольника, верхняя граница которого - верхняя из 3 ломаных линий, отмечена еще более жирной линией.

Наконец, интегральная сумма, соответствующая выбору точек  - это площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке заключена между описанными выше линиями и изображена простой линией.

Определение. Разбиение  отрезка  называется продолжением разбиения  (или измельчением), если оно получено присоединением к  новых точек деления.

(круглыми точками отмечены новые точки деления).

рекламное агентство тверь подробнее