Высшая математика Интегралы - курс лекций, задачи с решениями

Машиностроительное черчение
Единая система конструкторской
документации
Машиностроительные построения
Инженерная графика
Сборочный чертеж
Начертательная геометрия
Геометрические основы
построения чертежа
Конспект лекций по начертательной
геометрии
История искусства
Стили в искусстве Готика
Русский балетный театр
Русское изобразительное искусство
ТКМ
Материаловедение
Основы теории сплавов
Теория конструктивных материалов
Сопромат
Сопративление метериалов
Лабораторные работы
Задачи строительной механики
Лекции физика
Физика
Электричество
Магнетизм
Оптика
Электромагнетизм
Молекулярная физика
Лекции МАИ
Лекции МАИ часть 2
Диэлектрики
Квантовая механика
Физические законы механики
Электромагнитное взаимодействия
Атомные станции
Атомная энергетика
Экология энергетики
Атомная и ядерная физика
Теплотехника
Термодинамика
Билеты к экзамену по физике
Задачи физика электротехника
Решение задач по ядерной физике
Электростатика
Геометрическая оптика
Тепловое излучение
Основы теории сплавов
Теория относительности
Физические основы механики
Законы идеальных газов
Электростатика
Основы электротехники
Постоянный ток
Электромагнетизм
Оптика
Законы теплового излучения
Ядерная физика
Строение атома и молекул
Задачи математика
Математика
1 семестр
2 семестр
3 семестр
4 семестр
Интегралы
Лекции по высшей математике
Вычисление площадей в
декартовых координатах
Аналитическая геометрия
 
Информатика
Восстановление сети после аварии
Основные понятия и категории
информатики
Сетевые операционные системы

  1. Первообразная и неопределённый интеграл
    • Определение первообразной и её свойства
    • Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов
    • Свойства неопределённого интеграла
    • О "неберущихся" интегралах
    • Приближённое нахождение первообразных
    • Определенный интеграл

      Интегральные суммы. Определение интеграла

       

      Определение. Точки  задают разбиение отрезка . Для краткости будем обозначать разбиение буквой .

      Обозначим .

      Определение. Наибольшее из чисел  называется диаметром разбиения T и обозначается .

      Определение. Если произвольным образом выбрать точки  , то получится разбиение T с отмеченными точками . Будкм обозначать  набор .

      Пусть функция  определена на отрезке .

      Определение. Величина  называется интегральной суммой, соответствующей разбиению T с выбранными точками .

      Определение. Пусть существует число  такое, что для любого  существует ,  такое, что для  и любого выбора точек  выполняется неравенство

      .

      Тогда функция  называется интегрируемой на , а число I называется ее интегралом по отрезку  и обозначается

      .

      Примечания.

      Это-определение интеграла Римана (Б. Риман (1826-1866)). Существуют другие определения интеграла (интеграл Лебега, интеграл Мак-Шейна, интеграл Курцвейла-Хенстока, интеграл Стилтьеса и др.). Мы будем рассматривать лишь интеграл Римана ввиду относительной простоты его определения, с одной стороны, и его достаточности для приложений, с другой стороны.

      Чисто, допуская некоторую вольность языка (в математическом смысле!) говорят, что интеграл – это предел интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиения . «Вольность» состоит в том, что у нас имеется определение предела функции одной переменной, а интегральная сумма зависит не только от , но и от самого разбиения T, и от выбора точек . Поэтому говоря в дальнейшем о пределе интегральных сумм мы имеем в виду утверждение, сформулированное в определении интеграла.

      Впрочем, этой вольности можно избежать, если рассматривать понятие предела по базе (с этим понятием можно ознакомиться в более развернутых курсах математического анализа).


  2. Нахождение неопределённых интегралов
  3. Определённый интеграл и его свойства
  4. Несобственные интегралы
    • Несобственные интегралы первого рода
    • Свойства несобственных интегралов первого рода
    • Несобственные интегралы второго рода
    • Свойства несобственных интегралов второго рода
    • Несобственные интегралы с несколькими особенностями
    • Необходимое условие существования интеграла

       

      Теорема. Если функция  интегрируема на отрезке , то она ограничена на .

      Доказательство. Возьмем в определении интеграла  и рассмотрим соответствующее ему . Пусть T – любое разбиение, удовлетворяющее условию . Для того, чтобы убедиться в справедливости теоремы, достаточно доказать, что при всех  функция  ограничена на отрезке , т.е. . Действительно, тогда для  имеем при , т.к. x входит в некоторый отрезок  и, значит .

      Выберем любое  и представим интегральную сумму  в виде (1).

      Зафиксируем произвольным образом числа  выбранные в соответствующих промежутках. При этом первое и третье слагаемые в равенстве (1) примут определенное фиксированное значение. Обозначим сумму этих слагаемых буквой J. Таким образом, при любом   (2).

      По условию, функция интегрируема, значит , т.е. , или . Откуда, учитывая (2), , ,  (3).

      Левая и правая части неравенств (3) представляют собой величины, не зависящие от . Поэтому неравенства (3) означают, что . Теорема доказана.


  5. Приближённое вычисление определённых интегралов
  6. Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям

  7. Функции нескольких переменных и их дифференцирование
  8. Градиент и производная по направлению
  9. Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Суммы Дарбу и их свойства

 

При исследовании вопроса о существовании интеграла важную роль играют суммы Дарбу (Г. Дарбу (1842-1917)).

По доказанной в §2 теореме  ограничена на  и, следовательно, для любого разбиения T отрезка она ограничена на всех отрезках , (т.е. множество ее значений на этом отрезке ограничено сверху и снизу). Обозначим  - точную верхнюю грань, а  - точную нижнюю грань множества значений функции  на , .

Определение. Числа  и  называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции  для разбиения T на отрезке .

Теорема. Верхняя сумма Дарбу  представляет собой точную верхнюю грань, а нижняя сумма Дарбу  - точную нижнюю грань множества значений интегральных сумм при заданном разбиении T и всевозможных выборах точек .

Доказательство. Проведем его для верхней суммы Дарбу. Для нижней суммы рассуждения вполне аналогичны.

Во-первых, для любого  и для любой точки  имеет место неравенство  (по определению ). Значит,  (1).

Суммируя неравенства (1) по всем  получаем . Т.е.  - верхняя грань множества  по всевозможным выборам .

Осталось доказать, что  - точная верхняя грань. Для этого возьмем произвольное . Поскольку  - точная верхняя грань множества значений  на отрезке ,  существует точка  такая, что  и  (2).

Суммируя неравенства (2) по  получаем, что  , т.к.  (суммарная длина отрезков, составляющих отрезок , равна длине этого отрезка).

Итак, доказано, что для любого  можно так выбрать точки , что , что как раз и означает, что , где верхняя грань взята по всевозможным выборам точек . Теорема доказана.

Замечание. Отметим очевидность неравенства: .

Считая известным понятие площади многоугольника, отметим, что нижняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению , представляет собой площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке есть нижняя из 3 ломаных, отмечена жирной линией.

Верхняя сумма Дарбу - это площадь многоугольника, верхняя граница которого - верхняя из 3 ломаных линий, отмечена еще более жирной линией.

Наконец, интегральная сумма, соответствующая выбору точек  - это площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке заключена между описанными выше линиями и изображена простой линией.

Определение. Разбиение  отрезка  называется продолжением разбиения  (или измельчением), если оно получено присоединением к  новых точек деления.

(круглыми точками отмечены новые точки деления).