Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга

Напомним, что выше мы проверили, что формула

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx$

действительно даёт площадь трапеции, давно нам известную в том случае, когда линия $ y=f(x)$  -- прямая. Мы заметили, что надо еще проверить, что эта формула не противоречит другому издавна известному нам случаю площади: когда линия $ y=f(x)$  -- часть окружности, то эту площадь можно подсчитать, исходя из формулы для площади круга (напомним, она равна $ \pi R^2$ для круга радиуса $ R$ ). Не ограничивая общности, можно считать, что центр круга совпадает с началом координат координатной плоскости $ xOy$ , так что окружность радиуса $ R$ имеет уравнение

$\displaystyle x^2+y^2=R^2.$

Верхняя полуокружность задана тогда уравнением $ y=\sqrt{R^2-x^2}$ , то есть представляет собой график функции $ f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ .

Рис.3.5.


Пусть теперь взят отрезок $ [a;b]$ , целиком умещаюшийся на диаметре $ [-R;R]$ , лежащем на оси $ Ox$ . Для определённости разберём случай, когда $ a>0$ (тогда $ 0<a<b\leqslant R$ ). Проведём вертикальные отрезки $ x=a$ и $ x=b$ через концы $ [a;b]$ до пересечения с полуокружностью и получим криволинейную трапецию. Для подсчёта её площади геометрическим способом проведём радиусы $ OM$ и $ ON$ в точки пересечения вертикальных отрезков $ x=a$ и $ x=b$ , соответственно, с полуокружностью. Длины этих вертикальных отрезков равны $ \sqrt{R^2-a^2}$ и $ \sqrt{R^2-b^2}$ . Площадь треугольника $ OMa$ равна, очевидно, $ S_1=\frac{1}{2}a\sqrt{R^2-a^2}$ , а площадь треугольника $ ONb$ равна $ S_2=\frac{1}{2}b\sqrt{R^2-b^2}$ . Радиус $ OM$ проведён под углом $ {\varphi}_1=\arccos\frac{a}{R}$ к оси $ Ox$ , а радиус $ ON$  -- под углом $ {\varphi}_2=\arccos\frac{b}{R}$ к оси $ Ox$ . Используя формулу площади сектора с центральным углом $ {\varphi}_1-{\varphi}_2$ , находим площадь сектора круга $ MON$ :

$\displaystyle S_{сект.}=\frac{1}{2}R^2({\varphi}_1-{\varphi}_2)=
\frac{1}{2}R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}).$

Поскольку, как видно из чертежа, площадь $ S$ криволинейной трапеции $ aMNb$ равна

$\displaystyle S=S_{сект.}+S_{\triangle ONb}-S_{\triangle OMa},$

то получаем формулу

$\displaystyle S=\frac{1}{2}R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})
+\frac{1}{2}b\sqrt{R^2-b^2}-\frac{1}{2}a\sqrt{R^2-a^2}.$

Наша задача -- проверить, что к той же самой формуле приводят и правила интегрирования, если площадь криволинейной трапеции $ aMNb$ подсчитывать по общей фоpмуле площади области, лежащей под гpафиком функции $ y=f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ , то есть вычислять как $ S=\int\limits_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx.$

Итак, приступаем к преобразованию этого интеграла. Первым делом проинтегрируем по частям:

$\displaystyle S=\int\limits_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...ht\vert=
 x\sqrt{R^2-x^2}\Bigr\vert _a^b-\int_a^b\frac{-x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=$   
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-\int_a^b\frac{(R^2-x^2)-R^2}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=$   
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-\underbrace{\int_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx}_{{}=S}+
 R^2\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=$   
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(-\arccos\frac{x}{R})\Bigr\vert _a^b=$   
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}).$   

После интегрирования по частям мы преобразовали интеграл в правой части, добавив и отняв $ R^2$ в числителе, после чего поделили скобку $ (R^2-x^2)$ на $ \sqrt{R^2-x^2}$ и получили тот же интеграл, с которого начинали, то есть $ S$ . Оставшийся интеграл

$\displaystyle \int_a^b\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}$ --

табличный, но вместо привычной табличной формулы

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{R}+C$

мы воспользовались (тоже верной) формулой

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=-\arccos\frac{x}{R}+C$

и применили формулу Ньютона - Лейбница для вычисления определённого интеграла. Теперь в полученном равенстве

$\displaystyle S=
b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})$

перенесём $ S$ из правой части в левую и поделим обе части пополам. Получим:

$\displaystyle S=
\frac{1}{2}b\Bigl(
\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})\Bigr).$

Это та же самая формула для площади $ S$ , что была получена выше, исходя из формулы площади кругового сектора. Значит, способ подсчёта площади с помощью интеграла не противоречит и этой формуле площади, известной из элементарной геометрии.

 Пример. Найти произведение матриц А=, В =

АВ = ×= = .

 

Определители.( детерминанты).

  Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

  det A = , где 

М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

 Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

 det A =  

 Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

 detA = , i = 1,2,…,n. 

 Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

 Определитель единичной матрицы равен 1.

 Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

 Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

 det A = det AT; 

Свойство 2. det (AB) = detA×detB

Свойство 3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 4. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

 Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1 ± d2 , e = e1 ± e2 , f = f1 ± f2 , то верно:

Приложения интеграла: длина дуги кривой Пусть незамкнутая, не имеющая точек самопересечения кривая задана параметрическим уравнением , причем  непрерывны на . Пусть  имеет координаты . . Рассмотрим ломаные линии, соединяющие выбранные вышеуказанным способом точки. Определение. Если существует предел длины ломаной при стремлении к 0 максимальной длины звена ломаной, то этот предел называется длиной дуги кривой (а кривая называется спрямляемой или имеющей длину).